Nieskończoność

symbol pochodzi od M ( = 1000 )

Tysiąc, to dużo, ale każda liczba, stojąc obok ∞, jest tak samo mała. Jest, po prostu, nieskończenie mniejsza. To nic nie wyjaśnia. Stanąć obok ∞ nie jest łatwo, będąc czymś konkretnym (będąc czymś).

Ta strona internetowa, pisana przez fizyka, przeciętnie kompetentnego w matematyce, w ogóle niekompetentnego w filozofii (ani poezji), oferuje wgląd intuicyjny, obrazkowy. W temat nieskończenie trudny.

To nie jest systematyczny wykład. Dlatego, na początku

liczby pierwsze

Na niebiesko są linki, do wewnętrznych programików, które powinny tu być najciekawsze, dlatego są dość silnie wyróżnione. To są osobne okienka, albo karty, które po użyciu należy raczej zamknąć.
Liczby pierwsze, nie dzielą się. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, ... . Po kliknięciu powyższego linku będzie ich więcej, pójdą po kolei, przez dwa tygodnie, aż się skończą (TU się skończą TAM nie. Łatwo dowieść, że nie jest ich skończenie wiele. Bo gdyby było, moglibyśmy je wszystkie pomnożyć przez siebie i potem dodać do iloczynu 1. A to byłaby już nowa liczba pierwsza, większa od tamtych. Sprzeczność.) Kliknijmy wreszcie.

Temat liczb pierwszych Googluje się łatwo. Jest o czym pisać i (jak widać) ludzie chętnie piszą. Teraz poprzestańmy na jednej kwestii, żeby w ogóle powiedzieć coś konkretnego. Wiemy już, że jest ich ∞, ale jak gęsto siedzą między naturalnymi? Otóż coraz rzadziej.

ich gęstość liczona i na obrazku

 

 

Nieskończona ilość prostych

krzyżuje się w twoim sercu:

te proste nie mają początku - ni końca.



Ryszard Krynicki


Wszystko -
słowo bezczelne i nadęte pychą.
Powinno być pisane w cudzysłowie.
Udaje, że niczego nie pomija,
że skupia, obejmuje, zawiera i ma.
A tymczasem jest tylko
strzępkiem zawieruchy

Wisława Szymborska


... tę granicę pomiędzy pamięcią a wyobraźnią ... nazwijmy życiem duchowym, czyli nigdy nienasyconym pragnieniem nieskończoności.

Nieskończoność poezji jest niepewna, kapryśna, wydaje się nawet, że jest - lub bywa - skończona.

Adam Zagajewski

 

Hans Magnus Enzensberger, tłumaczenie Ryszard Krynicki

Trochę niżej


W Europie tak to brzmi

infini-francuski infinito-włoski, hiszpański Unendlichkeit-niemiecki απειρο-grecki бесконечность-rosyjski nekonečno-czeski végtelenség-węgierski begalybe-litewski

Na niebie, dla cierpliwych, obserwujących Słońce w południe przez cały rok. Hasło: Analemma.

Dla niecierpliwych inne hasło: Lemniskata

Cytaty. Najpierw Wikipedia, potem Paweł Polak, z którego pośredniej inspiracji ta strona. Potem Wielcy.

Modern discussion of the infinite is now regarded as part of set theory and mathematics

Paweł Polak, Rozwój pojęcia nieskończoności. Dialog pomiędzy filozofią a matematyką, Semina Scientiarum 2002

... nieskończoność jest w pewien sposób bliska człowiekowi, ponieważ wpisuje się w wyczuwalną przez niego potrzebę transcendencji Patrz też Karol Tarnowski

... Antyfon przyjął, że koło jest wielokątem o nieskończonej ilości boków ... wg Arystotelesa błąd polegający na utożsamieniu bardzo wielkiej ilości boków z nieskończoną ich ilością

Paradoks Zenona ... Stagiryta wydzielił więc:
1. nieskończoność podziałów i nieskończoność krańców;
2. nieskończoność aktualną i potencjalną.

Arystoteles odrzucił istnienie nieskończoności aktualnej. ... wszystko w świecie pozostaje skończone.

Mikołaj z Kuzy. Twierdził on, że nieskończoność nie pozostaje w proporcji do niczego, jest więc jako taka nieznana. Kuzańczyk podkreślał istotową różnicę pomiędzy tym co skończone, a tym co nieskończone.

...

Dopiero dzięki pracom Cantora w II poł. XIX wieku udało się wytworzyć odpowiedni grunt dla owocnej współpracy filozofii i matematyki.

... nie da się pominąć aspektu wzajemnych oddziaływań i tworzyć nawet tak abstrakcyjnej nauki jaką jest matematyka, bez uwzględnienia oddziaływań pochodzących z filozofii. hm

 

Galileo, On two New Sciences, 1638
So far as I see we can only infer that the totality of all numbers is infinite, that the number of squares is infinite, and that the number of their roots is infinite; neither is the number of squares less than the totality of all numbers, nor the latter greater than the former; and finally the attributes "equal," "greater," and "less," are not applicable to infinite, but only to finite, quantities. Patrz też: 2^s

Definicja nieskończoności. Nieskończonego zbioru. Liczby naturalne? Zbiór liczb naturalnych. Zbiór jest nieskończony jeżeli jest równoliczny (tak samo liczny) jak któryś z jego "właściwych" podzbiorów. Skończony jest zbiór trzech liczb: (2, 5, 55), właściwy jego podzbiór ma 0, 1 lub 2 liczby, gdyby miał 3, czyli wszystkie, to już nie byłby właściwy. Właściwy podzbiór jest mniejszy. Chyba, że zbiór jest nieskończony. Następujący podzbiór liczb naturalnych (niewątpliwie "właściwy"): (1, 10, 100, 1000, 10000, ...) jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, bo da się jego elementy ponumerować liczbami naturalnymi: 1-1, 2-10, 3-100, 4-1000, ...

Liczność zbioru liczb naturalnych, i nieskończenie wielu, najróżniejszych jego (ale niekończonych) podzbiorów, i różnych innych, oznaczana jest literą (alef) z indeksem 0, bo są też następne:

0

 

Emmanuel Levinas, Philosophy and the Idea of Infinity Roberto Ponce Cordero
a strategy of relocating the foundation of an ethics on a concept of infinite that seems to me to be too essentialist too ahistorical

Ludwig Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus
6.4312
Czasowo pojęta nieśmiertelność duszy ludzkiej — czyli jej wieczne życie po śmierci — nie tylko nie jest niczym zagwarantowana, lecz nade wszystko nie daje wcale tego, co zawsze chciano przez nią osiągnąć. Czy rozwiąże to jakąś zagadkę, że będę żył wiecznie? Czyż takie wieczne życie nie będzie równie zagadkowe jak obecne? Rozwiązanie zagadki życia w czasie i przestrzeni leży poza czasem i przestrzenią. (Nie chodzi tu przecież o rozwiązywanie problemów naukowych.)

Wygląda, że trzeba, przynajmniej na chwilę wrócić do liczb. (A potem na dłużej.)

Naturalne 1, 2, 3, ... Wcale nie musimy mieć jabłek do liczenia, NIC musimy mieć (zbiór pusty ∅).

Wymierne 1/2, 1/3, 77/123, ... Trudno się z tym zgodzić, ale liczb wymiernych jest tyle samo, co naturalnych. Przekonuje o tym tzw. argument przekątniowy. (W programiku naciskamy spację.)

Duża liczba

Duża liczba zapisana / pokazana takie zabawki.

 

Teraz, prosto do intuicji, z pominięciem intelektu.

To przez szacunek dla starożytnych, kolumn jest dużo.

 

Więcej dziś potrafimy dzięki lepszej znajomości nieskończoności (calculus - rachunek różniczkowy i całkowy, rachunek infinitezymalny).

 

Gdzie, jak nie tu? (Ze Świnicy na południe.)

 

Z samolotu... niby wyżej, ale za grubą szybą... (Północne Włochy.)

 

Niżej (z mniejszego samolotu), bliżej (Gliwice), ale więcej planów, pierwszy, drugi, trzeci..., dziesięć da się wyróżnić + Niebo (jakoś żółte). W samochodach na dole ludzie, pod wiatrakiem, na horyzoncie, czeski spacerowicz (nie widać go). Daleko, ale kierowca może właśnie tam jedzie, będzie za trzy godziny (widoczna jest A4, potem zjedzie na A1). Nie widzimy, ale WIEMY.

 

Jest zasada żywopłotu. Nie puste pole, pusty horyzont. Żeby pokazać nieskończoność trzeba też bliższego planu.

 

Automatycznie przenosimy się do Tamtego czasu. Pasterz ma łatwiej, on NIE WIE, boi się błyskawicy, tęskni za świetlistą dalą ze słońcem.


Giovanni Segantini

 

 

Dwie nieskończoności. Odległe niebo w górze, dusza we mnie.


Millet

 

Odetchnijmy od pachnącego średniowieczem romantyzmu.

 

Tu człowiek jest już tylko z tej strony, za to jest horyzont. Ziemia jest kulą (TAK), to psuje wszystko, ten widok z Księżyca.

 

 

Czysty Romantyzm. Jednak przy funkcji ζ Riemanna... (Riemann urodził się w małej północno-niemieckiej wiosce, żadnych gór, czasem mgły.)

 

Lepiej jak postać jest mała, w oddali, i nic nie widać. Jeden ze słabszych obrazów innego, północnego Niemca (opinia osobna). Wiedza o cykliczności pejzażu psuje wrażenie. Możemy się kręcić w nieskończoność, niczego nie osiągając.

 

Gdzie, jak nie tu?

Dzieło, w którym na temacie Fryderyka Bach dał wzory wszystkich możliwości jego przekształcenia w gatunki kontrapunktyczne. Ale to nie jest traktat muzykologiczny czy ilustracja teorii – to jest Wielka Muzyka. Das musikalische Opfer jest pokazem nieprawdopodobnych kombinacji. Matematycy by ci to wyliczyli, bo oni zawsze wiedzą, jak pomnożyć, żeby była ucieczka w nieskończoność. Bez wdawania się w wyjaśnienia, jak silnia jest stosowana przez kompozytorów, wystarczy powiedzieć, że jeżeli w muzyce masz do dyspozycji tylko cztery dźwięki, to i tak istnieją dwadzieścia cztery możliwości ich uszeregowania – a więc skomponowania z nich dwudziestu czterech melodii. Dlatego ludzie, dysponując dwunastoma dźwiękami w oktawie (dodekafonia), mogą pisać w nieskończoność, bo w rachunku silni masz tam już miliardy kombinacji.
Radwan

 

Maszyna do liczenia. Potężna. W beznadziejnej technologii. Wolna, ale nadrabia złożonością. Nie do końca cyfrowa. Być może nawet ma elementy obliczeń kwantowych. Ma świadomość. Tyle, że nie wie, co to ta świadomość. Jedno jest pewne, nie usprawni się szybko. Nawet gdyby wykorzystała to, co już prawie ma, ulepszanie genomu, to i tak 20 lat trzeba czekać na nowy model. Wyścig z tą na krzemie przegrany w blokach startowych.


http://gallantlab.org/huth2016/

 

Dość tych bzdur. Do Matematyki!


Wir müssen wissen. Wir werden wissen. Nagrobek w Getyndze, przemowa w Królewcu w 1930.

To zdanie jest fałszywe.

Gregory Chaitin (zdjęcie z Krakowa): Information theory suggests that the Gödel phenomenon is natural and widespread, not pathological and unusual.

Kurt Gödel: necessary axioms have not yet been found. Of course, ... mathematics may lose a good deal of its "absolute certainty;" but, ... this has already happened to a large extent...

Gödel, K. (1964). Russell's mathematical logic, and What is Cantor's continuum problem?, in Philosophy of Mathematics

Matematyki po Gödlu. Grunt usuwa się spod nóg.

To zdanie jest fałszywe

Jeżeli jest fałszywe, to znaczy, że jest prawdziwe. Jest kłopot. Co można zrobić? Niewiele, udawać, że szybko liczymy.
Wykres poniżej jest obrazem skrajnych przeskoków. Niebieska linia, to matematyka, czerwona może być zrealizowana w praktyce. (Będzie jeszcze o tym mowa.) Może mieć częstotliwość 5GHz, jak w komputerze - 5 miliardów przeskoków na sekundę. Albo może mieć okres 5 miliardów lat. Najpierw Ziemi nie było, a przez ostatnie 5Ga jest (i w ostatniej minucie (jeżeli Ziemia ma dobę) ta małpa musiała zejść z drzewa i zacząć myśleć).

To zdanie jest fałszywe

A może tylko

Prawdziwość tego zdania nie różni się bardzo od jego fałszywości

Może będzie ciekawiej przejść z twardego TAK / NIE na "a może raczej", "może jednak", "chyba tak / nie", na 80%, ale w żadnym wypadku nie 100%! Ani 0% (jak się okaże, dokładne 50% też jest nie bardzo dobrze widziane, szybko prowadzi na skrajne manowce). W każdym razie, trzeba mieć płynność. Nazwijmy, oznaczmy, ilościowo określoną prawdziwość tego zdania literą p. Ta liczba będzie się mogła zmieniać od 0 do 1, ale bez samego zera i samej jedynki. Fałszywość tego zdania będzie wynosiła 1-p. Jak prawdziwe na 0.8, to fałszywe na 0.2. Teraz trudny moment. Prawdziwość ma się nie różnić bardzo od fałszywości, czyli p nie powinno się bardzo różnić od (1-p). Bo zdanie będzie fałszywsze. Różnicę trzeba wziąć w kwadracie (dlaczego?): (p-(1-p))2. No i to jest fałszywość, nowa fałszywość, stara była 1-p. Czyli 1-pnowe=(p-(1-p))2.

p,   1-p,   (p-(1-p))2,    1-pnowe=(pstare-(1-pstare))2    czyli    pn=4*ps*(1-ps)

I tak w kółko, w przysłowiową "nieskończoność". Nowe staje się starym, rodząc nowe "nowe". Tak to wygląda. Tu kilka pierwszych wyników:

0.2 0.64 0.921599 0.28901376 0.8219392261226504 0.585420538734196 0.970813326249439 0.11333924730375745 ...

Przecież to kompletny CHAOS! Zaczęło się od prostego 0.2, potem dwa mnożenia i jedno odejmowanie, szkolna parabola, wyszło 0.64, to ujdzie, ale dalej... A przecież to kompletnie deterministyczna formuła, żadnej dowolności! Tak, to jest chaos deterministyczny. Jedno z dwóch źródeł losowości na tym świecie (drugie, jakby jeszcze bardziej fundamentalne, opisuje mechanika kwantowa). To warto trochę przemyśleć. To nie aż taka nowość, dla kogoś, kto kiedyś widział liczbę π z bliska.

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510 58209749445923078164062862089986280348253421170679 82148086513282306647093844609550582231725359408128 48111745028410270193852110555964462294895493038196 44288109756659334461284756482337867831652712019091 45648566923460348610454326648213393607260249141273 72458700660631558817488152092096282925409171536436 78925903600113305305488204665213841469519415116094 33057270365759591953092186117381932611793105118548 07446237996274956735188575272489122793818301194912 98336733624406566430860213949463952247371907021798 60943702770539217176293176752384674818467669405132 00056812714526356082778577134275778960917363717872 14684409012249534301465495853710507922796892589235 42019956112129021960864034418159813629774771309960 51870721134999999837297804995105973173281609631859 50244594553469083026425223082533446850352619311881 71010003137838752886587533208381420617177669147303 59825349042875546873115956286388235378759375195778 18577805321712268066130019278766111959092164201989 38095257201065485863278865936153381827968230301952 03530185296899577362259941389124972177528347913151 55748572424541506959508295331168617278558890750983 81754637464939319255060400927701671139009848824012 85836160356370766010471018194295559619894676783744 94482553797747268471040475346462080466842590694912 93313677028989152104752162056966024058038150193511 25338243003558764024749647326391419927260426992279 67823547816360093417216412199245863150302861829745 55706749838505494588586926995690927210797509302955 32116534498720275596023648066549911988183479775356 63698074265425278625518184175746728909777727938000 81647060016145249192173217214772350141441973568548 16136115735255213347574184946843852332390739414333 45477624168625189835694855620992192221842725502542 56887671790494601653466804988627232791786085784383 82796797668145410095388378636095068006422512520511 73929848960841284886269456042419652850222106611863 06744278622039194945047123713786960956364371917287 46776465757396241389086583264599581339047802759009 94657640789512694683983525957098258226205224894077 26719478268482601476990902640136394437455305068203 49625245174939965143142980919065925093722169646151 57098583874105978859597729754989301617539284681382 68683868942774155991855925245953959431049972524680 84598727364469584865383673622262609912460805124388 43904512441365497627807977156914359977001296160894 41694868555848406353422072225828488648158456028506 01684273945226746767889525213852254995466672782398 64565961163548862305774564980355936345681743241125 15076069479451096596094025228879710893145669136867 22874894056010150330861792868092087476091782493858 90097149096759852613655497818931297848216829989487 22658804857564014270477555132379641451523746234364 54285844479526586782105114135473573952311342716610 21359695362314429524849371871101457654035902799344 03742007310578539062198387447808478489683321445713 86875194350643021845319104848100537061468067491927 81911979399520614196634287544406437451237181921799 98391015919561814675142691239748940907186494231961 56794520809514655022523160388193014209376213785595 66389377870830390697920773467221825625996615014215 03068038447734549202605414665925201497442850732518 66600213243408819071048633173464965145390579626856 ...

Albo popatrzył na liczby pierwsze (była okazja). Do kwestii porządku w liczbach pierwszych trzeba będzie wrócić. Na razie jeszcze 4p(1-p). Puśćmy ten programik (na marginesie, do wszystkich tych krótkich programików można zajrzeć (klika się prawym) i zobaczyć, jak działają). Jest w nim, w środku taka liczba: 1234567. Liczy on omawiane przekształcenie (Logistic map), przy czym owe liczby z przedziału 0-1 mnoży przez 1010, zaokrągla do całkowitych i sprawdza, czy przypadkiem nie są równe 1234567. Sprawdza blokami po milionie przypadków. Jakby któraś była równa, to STOP. To jest właśnie problem stopu, mamy na początku liczbę 0.2 (czy coś takiego), wzorek 4p(1-p) i nie potrafimy powiedzieć, czy to się kiedykolwiek zatrzyma. Możemy tylko próbować, a to trwa, może i do ∞. Tu jest wykres, ale ten programik ma ciekawszą opcję, pozwala zmieniać to 4 na inną liczbę, mniejszą. Trzeba klikać na czarnym polu. Po lewej jest 2, po prawej 4, w środku 3. Najciekawiej jest ok 3.8. Przy 3 zaczyna się pierwsza bifurkacja. Chaos od 3.57. Tak to w sumie wygląda. Parametr zmienia się od 2.9 do 4. Tu się liczy w czasie rzeczywistym, poniżej, ten rysunek, odwrócony porównany jest ze zbiorem Mandelbrota.

Tu jest ten obrazek w dużej rozdzielczości

Zbiór Mandelbrota jest fraktalem. Koniecznie trzeba go oglądać na żywo, czyli klikać sobie w ciekawe miejsca. Jak ktoś dobrze trafia, to kilkanaście zbliżeń otrzyma zanim skończy się dokładność komputerowych liczb. Matematycznie, końca to nie ma. A tak się robi ten zbiór: znowe=zstare2+c. Liczby z i c są zespolone a+b√(-1), odpowiadają więc punktom, np. na obrazku. Konkretnie c odpowiada, bo z biegnie do przodu. Otóż, jeżeli dla jakiegoś c z ucieka w ∞, to czarny punkt, a jak nie ucieka, to biały. Widoczna zbieżność dwóch powyższych rysunków, otrzymanych w sposób podobny, ale i nie podobny, niech ilustruje jakąś jedność matematyki, może. Coś innego tu jest do zaobserwowania. W tym klikaniu po ostatnim programiku, w graniczne punkty zbioru M. To tylko zwykły komputer, liczy z dokładnością do 16 cyferek. A takie π, zaprezentowane wyżej, w nieskończenie (nieeee, skończenie) małym fragmencie ma cyfr ∞, dokładniej, przeliczalnie nieskończenie wiele, czyli ℵ0. To jasne, że powyższe cyferki można by ponumerować ("teoretycznie" - cokolwiek to znaczy, bo nigdzie na tym łez padole tyle miejsca (ani czasu) nie ma).

To są liczby rzeczywiste

Czyli nierzeczywiste. Prawdziwa liczba rzeczywista (niewymierna, np. π, √2, ...) jest ideą, nie da się zapisać w sensie dosłownym. Liczba niewymierna ma nieskończenie wiele cyfr, które w żaden sposób nie dadzą się skompresować (bezstratnie). Czy tę potęgę nieskończoności da się jakoś zobaczyć klikając na fraktal? Klikając i klikając.

Liczb rzeczywistych jest więcej niż naturalnych. Więcej niż ℵ0, ich jest 1. W okienku uruchomionego programiku jest 15 liczb rzeczywistych (nieskończonych ;-), nawet jak ktoś ma monitor 4K, to i tak nie rozciągnie okna tak, żeby ich koniec zobaczyć. Liczb jest 15 (za każdym razem inne, tak, losowe są), a powinno być nieskończenie wiele, ALE przeliczalnie wiele. Stawiamy hipotezę, że ℵ1=ℵ0, że one dadzą się ponumerować, wszystkie. I obalimy ją, tworząc jeszcze jedną liczbę rzeczywistą, inną od wszystkich. Robimy tak: bierzemy kolejne cyfry dziesiętne danej liczby rzeczywistej, jak >1, to piszemy 1, jak =1, to piszemy 2 (takich algorytmów było by...). Dostajemy ciąg cyfr, który przynajmniej na jednym miejscu dziesiętnym różni się od każdej innej liczby. Mamy nową liczbę rzeczywistą, a tamte miały stanowić komplet. Komplet ℵ0 nieskończony, ale komplet. To, że 15 przypadkowych liczb rzeczywistych zaczynało się od "0." nie powinno niepokoić, kropka mogła być gdziekolwiek w środku.

Tak więc ℵ1≠ℵ0. Jest hipoteza, Hipoteza Continuum (CH), że między ℵ0 i ℵ1 nic już nie ma. Jej rozstrzygnięcie nie wynika z ZFC.

Liczb wymiernych (to już było) jest tyle, co naturalnych, ℵ0. Koniecznie trzeba tę trudną prawdę przyjąć, żeby pójść dalej z ∞. Punktów na odcinku (0, 1), takim jak ta kreska ___, jest tyle, co liczb rzeczywistych, ℵ1. Ile jest punktów w kwadracie ■? Też jest ℵ1. Jeżeli w przestrzeni 2D punktów jest tyle co w 1D, to w każdej ND też tyle samo. W ∞D jest ℵ2. Cantor twierdzi, że nie ma im końca, tym indeksom przy ℵ. Ludzka wyobraźnia załamuje się raczej przy 4D. Nic dziwnego, do 3D nawykły najprymitywniejsze już żyjątka. (Czy tak na prawdę, dogłębnie 2D rozumiemy?) Jednak ten obraz
nie jest czystą fantazją (poza odniesieniami do tradycji). Tam jest siatka (na 2D, ale jakoby w 3D) kostki 4D (to już nie sześć-ścian - tesseract).

To chyba ściana. ZFC było. Nieskończenie wiele pozaskończonych alefów... tylko wracać. Do bitów. Na początku był bit (nie było, a potem było, bez powodu, jak tu). Weźmy życie, nie, nie Briana, Conway'a. Jest to przykład "automatu komórkowego". Jego algorytm jest znacznie prostszy niż był przy 4p(1-p), bo działa na bitach, czarne/białe. Dobrze opisany jest w Wikipedii:

Reguły gry według Conwaya

A jaka rozmaitość. Oczywiście nieskończona, przy nieskończonej siatce i czasie.





Tu urywa się spójny, jako tako, wątek. Niżej luźne notatki.



Liczba podzbiorów zbioru n-elementowego wynosi 2n (2^n). Spotkać się można z 2^ℵ0, mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych. A to jest ℵ1.

n
0 {} 20=1 {}
1 {A} 21=2 {} {A}
2 {A, B} 22=4 {} {A} {B} {A, B}
3 {A, B, C} 23=8 {} {A} {B} {C} {A, B} {A, C} {B, C} {A, B, C}

4 {A, B, C, D} 24=16 {}
{A} {B} {C} {D}
{A, B} {A, C} {A, D} {B, C} {B, D} {C, D}
{A, B, C} {A, B, D} {A, C, D} {B, C, D}
{A, B, C, D}

...

 

Funkcja ζ Riemanna

ζ - dzeta - funkcja specjalna zdefiniowana jako "przedłużenie analityczne" sumy Σ(1/n)z dla n od 1 do ∞ (z jest zmienną zespoloną).

Hipoteza Riemanna, jeden z największych, nierozwiązanych problemów
Wszystkie tzw. nietrywialne zera funkcji ζ mają część rzeczywistą równą 1/2.

Nie wiadomo, czy jest ona prawdziwa. Nie udowodniono jej, ani nie obalono. Obalić byłoby, w zasadzie łatwo. Wystarczyłoby znaleźć takie z, dla którego ζ(z)=0, a przy tym Re(z)=0.500000000000000000000000000000000000000000000000000000000001, albo jakoś tak. Autor tego tekstu kiedyś przeczytał wypowiedź matematyka, że pewnie są zera o Re(z)≠1/2, ale tak daleko, że żaden komputer nigdy tego nie policzy. U kogoś, kto całe życie liczy coś na komputerze wywołało to oburzenie; komputer czegoś nie policzy! Późniejsza refleksja podniosła na wyższy poziom rozumienie ∞.

Zera funkcji ζ, komentarz jest w programie. Zresztą, taki tam program. Wszystkie (?) programiki dotąd, same liczą, to co pokazują. Ten tylko wyświetla, to co ma brutalnie zapisane w pamięci.

Funkcja ζ a liczby pierwsze. Niekoniecznie można by się spodziewać związku funkcji zmiennej zespolonej z liczbami pierwszymi (z drugiej strony matematyka, to jedność). A jest on nawet dość prosty.
Prawdziwość hipotezy Riemanna byłaby gwarantem, jakiegoś porządku, jednak, w liczbach pierwszych. Dowód fałszywości ...

A new quantum algorithm allows the computation of a range of prime number functions to be computed well beyond the limits of a conventional computer. It is even possible that it could solve the million-dollar Riemann hypothesis. źródło

ζ a π jedność matematyki

 

Hipoteza Goldbacha - program uruchamia się parę sekund, bo liczy

 

 

The physics of infinity, Nature Physics, August 2018, Ellis, Meissner, Nicolai pdf

Fizycy oczywiście używają, jako narzędzia, rachunku różniczkowego i całkowego, gdzie symbol ∞ występuje w co drugim wzorze. Jednak z obiektami nieskończenie wielkimi, nieskończenie małymi, czy nieskończenie licznymi do czynienie nie mają. Największa liczba rzeczy, obiektów, w naszym Wszechświecie, czyli, po prostu, liczba protonów wynosi 1080 =100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000. Najgłupszy komputer potrafi obracać liczbami z zakresu 10300, 10-300.

Artykuł z Nature przywołany jest z innego powodu. Autor tego tekstu nie zgadza się z rysunkiem w pracy, który, po prostu nie jest dość dokładny. Ten program zoomuje krytyczne miejsce skoku fali prostokątnej, rozbieżność nie znika. Uwaga, po zmianie kroku czasowego dt, na przykład na 0, trzeba kliknać Start.


Real analysis, Wikipedia

 

 

Internet Encyclopedia of Philosophy. The Infinite.

Philosophers want to know whether there is more than one coherent concept of infinity

The density of matter at the center of a black hole is infinitely large. An electron is infinitely small. An hour is infinitely divisible. The integers are infinitely numerous. These four claims are ordered from most to least controversial

Thomas Aquinas ... God is infinitely powerful

Gauss ... scientific theories involve infinities merely as idealizations and merely in order to make for easy applications of those theories, when in fact all physically real entities are finite

Quine ... the first three sizes of Cantor’s infinities are the only ones we have reason to believe in

2,500 years ... actually infinite, potentially infinite, and transcendentally infinite

Aristotle ... “the idea of the actual infinite-of that whose infinitude presents itself all at once-was close to a contradiction in terms…,”

Calculus

Dedekind in 1888

Cantor 1887 ... each potential infinite…presupposes an actual infinite.

Cardinal numbers ... ℵ ... ℵ0, ℵ1; continuum problem

Cantor ... is not invention but rather is discovery about a mind-independent reality.

actual infinities are indispensable in mathematics and science

whether the set of all cardinal numbers has a cardinal number ... if it does, then it doesn’t

Russell’s Paradox of 1901 ... the set of all sets that are not members of themselves

Zermelo-Fraenkel’s set theory (ZF) was the best way or the least radical way

the concept of "infinite set" within ZF was claimed by many philosophers to be the paradigm example of how to provide a precise and fruitful definition of a philosophically significant concept.

we can never use the word “infinity” coherently because infinity is ineffable or inherently paradoxical

Infinity and the Mind

the infinite is beyond the grasp of the human mind

contemporary philosophers of psychology believe mental pictures are not essential to having any concept

whether we can coherently think about infinity to the extent of being said to have the concept

If we understand negation and have the concept of finite ...

might be thought of by a powerful enough mind.

Infinity in Metaphysics

person’s brain contains approximately 1027 atoms

some version of transcendental infinity that makes infinity be somehow beyond human comprehension

Levinas says the infinite is another name for the Other ... facing a practically incomprehensible and unlimited number of possibilities upon encountering another conscious being ... should say instead that there are too many possibilities to be faced

Cantor claimed his work was revealing God’s existence and that these mathematical objects were in the mind of God ... God gave humans the concept of the infinite so that they could reflect on His perfection

The connection between infinity and God exists in nearly all of the world’s religions.

The multiverse theories of cosmology in the early 21st century allow there to be an uncountable infinity of universes ... Augustine had this worry when considering infinite universes, and he responded that "Christ died once for sinners...."

Infinity in Physical Science

... examples where infinity occurs within physical science
(1) Standard cosmology based on Einstein’s GTR implies the density of the mass at the center of a simple black hole is infinitely large
(2) The Standard Model of particle physics implies the size of an electron is infinitely small.
(3) General relativity implies that every path in space is infinity divisible.
(4) Classical quantum theory implies the values of kinetic energy of an accelerating, free electron are infinitely numerous.
are not something that could be measured directly

George Berkeley and David Hume denied the physical reality of even potential infinities on the empiricist grounds that such infinities are not detectable by our sense organs. ... instrumentalists also ...

reality looks “as if” there are physical infinities ... useful mathematical fiction

theoretical terms that refer to infinities, then infinities must be accepted

Standard Model ... time is a continuum, and space is a continuum ... mass is a continuum as well as energy

space consists of discrete units called loops

Brian Greene ... the notion of being able to divide distances or durations into ever smaller units likely comes to an end at around the Planck length (10-35 m) and Planck time (10-43 s).

Roger Penrose ... The continuum still features in an essential way ... we need to take the use of the infinite seriously

Singularities ... A theory that involves singularities...carries within itself the seeds of its own destruction.

Strings have an infinite number of possible vibrational patterns each corresponding to a particle that should exist if we take the theory literally.

Big Bang ... stopped shrinking ... 10-35 meters

Gauss ... scientific theories involve infinities merely as approximations or idealizations

Penrose ... To my mind, a physical theory which depends fundamentally upon some absurdly enormous...number would be a far more complicated (and improbable) theory than one that is able to depend upon a simple notion of infinity

Erwin Schrödinger remarks, “The idea of a continuous range, so familiar to mathematicians in our days, is something quite exorbitant, an enormous extrapolation of what is accessible to us.”

Infinity in Cosmology

Immanuel Kant (1724–1804) declared that space and time are both potentially infinite in extent because this is imposed by our own minds. ... geometry of space must be Euclidean

The volume of spacetime is finite at present if we can trust the classical Big Bang theory.

Multiverse, then both space and time are actually infinite

Infinity in Mathematics

Bertrand Russell ... thinking in an unfamiliar way

The series s1 + s2 + s3 + … converges to S if, and only if, for every positive number ε there exists a number δ such that |sn+h + sn| < ε for all integers n > δ and all integers h > 0. In this way, reference to an actual infinity has been eliminated.

infinitesimal object is as small as you please but not quite nothing ... an infinite number of infinitesimal steps

Robinson: h is infinitesimal if and only if 0 < |h| < 1/n, for every positive integer n ... the hyperreal line

A constructivist, unlike a realist, ... an unknowable mathematical object is impossible. ... potential infinites can be constructed, actual infinities cannot be

Brouwer ... intuitionist school ... Numbers are human creations.

pi is intuitionistically legitimate because we have an algorithm ... number g is not legitimate ... n consecutive 7s in the decimal expansion of pi

there is no evidence supporting the belief in the existential character of the totality of all natural numbers ... is not a closed realm of things existing in themselves

Finitists, .. the actually infinite set of natural numbers does not exist.

ultrafinitist .. numbers such as 2100 and 21000 can never be accessed by a human mind

Quine .. some actually infinite sets are indispensable to all these scientific theories .. All this success is a good reason to believe

Quine .. only the first three alephs: ℵ0 for the integers, ℵ1 for the set of point places in space, and ℵ2 for the number of possible lines in space (including lines that are not continuous)

Zermelo-Fraenkel Set Theory

Using the axiom of choice, .. set is infinite .. for every natural number n, there is some subset whose size is n.

The power set axiom (which says every set has a power set, namely a set of all its subsets) then generates many more infinite sets of larger cardinality, a surprising result that Cantor first discovered in 1874

The Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis

Platonists tend to like the axiom

mathematics’ most unintuitive theorem, the Banach-Tarski Theorem, requires the axiom of choice

continuum hypothesis and the axiom of choice are independent of ZF

the concept of infinite set is so vague that we simply do not have any intuitions that .. ZFC

finite axiomatizability ... infinitary logic

logic should reflect the finitude of the human mind

Tarski also suggested allowing formulas to have a sequence of quantifiers of any transfinite length.

Infinitely Long Proofs

infinite number of truth values .. truth is a matter of degree .. from 0 to 1 .. Lofti Zadeh

true sentences of languages lower in the hierarchy ... Tarski's hierarchy of metalanguages


Renormalization in quantum field theory. ... When describing space and time as a continuum, certain statistical and quantum mechanical constructions are ill-defined.

n(1)=9 n(i)=n(i-1)n(i-1) n(n(9)) n(n(n(n(n(n(n(n(n(9))))))))) m(9)=n(n(n(n(n(n(n(n(n(9))))))))) m(m(9))


Big Number Calculator


2013 10 14

Infinity: New Research Frontiers Editors: Michael Heller, W. Hugh Woodin

Introduction Rudy Rucker
Part I. Perspectives on Infinity from History:
1. Infinity as a transformative concept in science and theology, Wolfgang Achtner
Part II. Perspectives on Infinity from Mathematics:
2. The mathematical infinity, Enrico Bombieri
3. Warning signs of a possible collapse of contemporary mathematics, Edward Nelson
Part III. Technical Perspectives on Infinity from Advanced Mathematics:
4. The realm of the infinite, W. Hugh Woodin
5. A potential subtlety concerning the distinction between determinism and nondeterminism, W. Hugh Woodin
6. Concept calculus: much better than Harvey, M. Friedman
Part IV. Perspectives on Infinity from Physics and Cosmology:
7. Some considerations on infinity in physics, Carlo Rovelli
8. Cosmological intimations of infinity, Anthony Aguirre
9. Infinity and the nostalgia of the stars, Marco Bersanelli
10. Infinities in cosmology, Michael Heller
Part V. Perspectives on Infinity from Philosophy and Theology:
11. God and infinity: directions for future research, Graham Oppy
12. Notes on the concept of the infinite in the history of Western metaphysics, David Bentley Hart
13. God and infinity: theological insights from Cantor's mathematics, Robert J. Russell
14. A partially skeptical response to Hart and Russell, Denys A. Turner.

Introduction, Rudy Rucker:
...
Hart feels that the starting point of the metaphysical notion of infinity is the notion of absolute indeterminacy . He also remarks that the metaphysical infinite is a domain in which the principle of noncontradiction fails, and both A and the negation of A can be true. Waxing a bit territorial, he says that things such as numbers, matter, space, or time can never really attain to a truly metaphysical infinitude. As he puts it, “We see here, then, that between the mathematical and the metaphysical senses of ‘infinite’ there exists not merely a distinction, but very nearly an opposition…any possible analogy is at best pictorial, affective, and immeasurably remote.”
...
I was fortunate enough to meet with the great logician Kurt Gödel at his office in Princeton. I was intrigued by his remarks about infinite sets being objectively existing objects that he could in some sense perceive. I asked him how to see the infinite sets. I’ll quote his answer from my book Infinity and the Mind : He said three things. (i) First one must close off the other senses, for instance, lying down in a quiet place. It is not enough, however, to perform this negative action, one must actively seek with the mind. (ii) It is a mistake to let everyday reality condition possibility, and only to imagine the combinings and permutations of physical objects – the mind is capable of directly perceiving infinite sets. (iii) The ultimate goal of such thought, and of all philosophy, is the perception of the Absolute . 9 Many of us have some immediate feeling for the infinite. We may express it in mathematics, in philosophy – or in art.

1. Infinity as a Transformative Concept in Science and Theology, Wolfgang Achtner:
...
ת = {ℵ0,...,ℵ1,...,ℵn}        (ת - Tav)
This ת, Georg Cantor claimed, is God, the creative source of all quantities existing in the world, and an intuitive insight of God is possible.
...

4.2.1 Woodin

The sum total of human experience in mathematics to date (i.e., the number of manuscript pages written to date) is certainly less than 1012 pages. The shortest proof from ZFC0 that no such sequence exists must have length greater than 1024. This is arguably beyond the reach of our current experience, but there is an important issue that concerns the compression achieved by the informal style in which mathematical arguments are actually written. This is explored a little bit further in Woodin (1998).

With proper inputs and global determination, one could verify with current technology that a given sequence of length at most 1024 is a proof of (¬Ξ) from ZFC0. However, we obviously do not expect to be able to find a sequence of length less than 1024 that is a proof of (¬Ξ) from ZFC0. This actually gives a prediction about the physical universe because one can code any candidate for such a sequence by a binary sequence of length at most 1026. The point is that, assuming the validity of the quantum view of the world, it is possible to build an actual physical device that must have a nonzero chance of finding such a sequence if such a sequence can exist. The device simply contains (a suitably large number of independent) modules, each of which performs an independent series of measurements that in effect flips a quantum coin. The point, of course, is that by quantum law any outcome is possible. The prediction is simply that any such device must fail to find a sequence of length less than 1024 that is a proof of (¬Ξ) from ZFC0. One may object that the belief that any binary sequence of length 1026 is really a possible outcome of such a device requires an extraordinary faith in quantum law; but any attempt to build a quantum computer that is useful (for factoring) requires the analogous claim where 1026 is replaced by numbers at least as large as 105.

This, of course, requires something like quantum theory. In the universe as described by Newtonian laws, the argument just described does not apply because truly random processes would not exist. One could imagine proving that for a large class of chaotic (but deterministic) processes (“mechanical coin flippers”), no binary sequence of length 1024 that actually codes a formal proof can possibly be generated. In other words, for the nonquantum world, the prediction that no such sequence (as just presented) can be generated may not require that the conception of Vn is meaningful where n = | V1000|.

Granting quantum law, and based only on our collective experience in mathematics to date, how can one account for the prediction (that one cannot find a sequence of length less than 1024 that is a proof of (¬Ξ) from ZFC0) unless one believes that the conception of Vn is meaningful where n = | V1000|?

Arguably (given current physical theory) this is already a conception of a nonphysical realm.

Skeptic's Attack: The mathematical conception of infinity is meaningless and without consequence because the entire conception of the universe of sets is a complete fiction. Further, all the theorems of set theory are merely finitistic truths, a reflection of the mathematician and not of any genuine mathematical “reality.” Throughout this section, the “Skeptic” simply refers to the metamathematical position that denies any genuine meaning to a conception of uncountable sets. The counterview is that of the “Set Theorist.” Set Theorist's Response: The development of set theory, after Cohen, has led to the realization that there is a robust hierarchy of strong axioms of infinity. Elaborating further, it has been discovered that, in many cases, very different lines of investigation have led to problems whose degree of unsolvability is exactly calibrated by a notion of infinity. Thus, the hierarchy of large cardinal axioms emerges as an intrinsic, fundamental conception within set theory. To illustrate this, I discuss an example from modern set theory that concerns infinite games.
...

8. Cosmological intimations of infinity, Anthony Aguirre
8.6 Conclusions
It seems inescapable that, as finite beings, we can never prove that the universe is physically infinite: we cannot travel through infinite spaces or times or experience an infinite number of states. Nonetheless, I have argued that in modern cosmology, we may face the fascinating situation that the theories (particularly inflation) devised to explain the finite observed region of the universe also naturally produce an infinite universe , through a process called everlasting inflation. This can be the case even if the universe is initially finite, because the dynamics of inflation, played out over an infinite available duration, allow the creation of an infinite universe – even, in a sense, many such universes. Thus, although we cannot prove that the universe is infinite, strong evidence for inflation, along with the (strong but imperfect) theoretical link between inflation and “everlasting” inflation, leads to a strong inference of an infinite universe.
On even more speculative ground, I have discussed the possibility that in cosmology, finity might be problematic in certain ways, so that the very coherence and comprehensibility of our physical world is pointing to an infinite duration, or infinite number of states of the universe. Even if this conclusion is overreaching, however, t he analysis of the paradoxes or solutions to paradoxes that infinity can generate in cosmology can bring novel perspectives on some ancient riddles.

9. Infinity and the nostalgia of the stars, Marco Bersanelli
the cosmological principle was widely accepted well before observations could effectively verify its validity. Remarkably, recent data confirm the gradual tendency toward uniformity at large dimensions. 3 If we look at portions of the universe of sizes >100 Mpc or so, 4 we find that the general statistical distribution is maintained, whereas the details change from region to region, suggesting that the cosmological principle is indeed a good approximation of the real universe – at least within the limits of our current data. But how far can we verify its validity with observation?

some 13.7 billion years ago the temperature and energy density reached fantastic values everywhere in space.

Eventually, however, we approach the ultimate barrier of our cosmic horizon: we cannot get information from regions farther away than the distance traveled by light in the entire lifetime of the universe. It is not a matter of improving our instruments and observing strategy; rather, it is a fundamental limit set by the finite speed of light and the finite cosmic age. As a consequence, we can observationally test the validity of the cosmological principle only within a limited region of space. The extension of isotropy and uniformity to the entire universe – something we may call a “strong cosmological principle ” – is ultimately unverifiable. That would be the case for the extrapolation to the universe as a whole of any other physical property observed within our cosmic horizon. The expanding hot Big Bang universe brings with it the notion of a horizon that delimits the part of cosmic space we can probe: the observable universe is definitely finite.

It is clear that strong claims on the infinity of space based on the apparent spatial flatness of the observable universe might be as naive as those ancient ideas on the flatness of the earth based on local and inaccurate observation, but with an important difference: in the case of cosmic space, the ambiguity would remain even with infinitely accurate data. This is because our cosmic horizon, unlike the visibility horizon on the earth surface, is a fundamental boundary (Barrow 1999 ; Ellis 2006 ) not surmountable with improved instruments or more refined theory.

Part V. Perspectives on Infinity from Philosophy and Theology:
11. God and infinity: directions for future research, Graham Oppy

... God's possessing a given property to a certain maximal extent forces us to say that God possesses that property to a given infinite cardinal degree. (If, for example, there are 15 true propositions ... (AW, wg NY: less similar)

13.1 Robert John Russell, Introduction
Western monotheism begins with the fundamental assertion that God is Absolute Mystery

explore ways in which modern mathematics bears important implications for our theological conversation about God. The key mathematical piece will be Georg Cantor's work

Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor ... born in St. Petersberg, 1845. His mother was a devout Roman Catholic, his father a Jew who had converted to Lutheranism. Raised in a musical family that relocated to Germany and converted to Lutheranism, Cantor was an accomplished violinist.

Cantor's views were supported by Richard Dedekind (1831–1916), but they were opposed by many others, notably Leopold Kronecker (1823–91). This opposition may have contributed to Cantor's declining health ... Cantor died 1918 in a mental institution.

Cantor actually distinguished between an unending but finite sequence of elements, such as the sequence 1, 2, 3, …, a sequence that is potentially infinite but always, in fact, finite, and the complete infinite sequence of these numbers thought of as a whole, that is, the set {1, 2, 3, …}. He called the potential infinite a “variable finite” and symbolized it as ; the actual infinite he symbolized by 0 , as we saw earlier.


Wolfhart Pannenberg (1928 – 2014) God of the Philosophers

In modern philosophical theology after Descartes and especially after Kant, the concept of being lost the fundamental importance it had in medieval philosophy. The traditional philosophical “demonstrations” of the existence of God as first cause of the universe and therefore as first being were replaced over time by the idea of God as the presupposition of human subjectivity and of its intellectual and ethical functions. The idea of God as first cause of the universe was not abandoned, but it was approached by another line of argument. In Hegel’s rehabilitation of the traditional demonstrations of God’s existence, in response to Kant’s powerful critique, the arguments were recast in terms of the rise of the human mind beyond finite reality to the idea of the infinite.

In this understanding, the idea of the infinite is the prior condition for perceiving the finite. Finite beings are conceived”as Descartes had already argued in Meditations (1641)”by being delimited by the infinite, which therefore is prior to anything finite, including even the human subject itself. Rising beyond the finite to the idea of the infinite belongs to the very nature of the human intellect. This, it was said, is evident historically in the fact of religion and is expressed theoretically in the rational arguments for the existence of God.

Friedrich Schleiermacher’s speeches of 1799 developed this line of argument with respect to the fact of religion. Religion expresses the human sense of the infinite as the prior condition for conceiving anything finite. In Hegel, too, the idea of the infinite replaces the concept of being or of the highest being as that concept functioned in medieval philosophical theology. This new approach to philosophical theology, however, did not abandon the conception of God as first cause of the universe, the creator of everything. What was changed was the way of reaching that conception.


Opozycja do Chaitin'a, dużo tekstów źródłowych tutaj


Collatz conjecture     Cayley graph     Fraktal     Infinity v.0


Principle of explosion

 

 


2 ∞ + > =to infinity and beyond


Włodzimierz Czerw

Przykład nieskończoności

2019 18 mar PAU Heller Piotr Błaszczyk UP Nowa teoria nieskończoności nieskończoność (pojęcie) nie występuje w Biblii i w Katechiźmie


Adam Walanus kilka przykładowych publikacji