Datowanie radiowęglowe Adam Walanus, Tomasz Goslar Spis treści
Tytuł tego rozdziału wygląda na jakąś pomyłkę, gdyż renifery kojarzą się z klimatem znacznie surowszym niż mazurski. Ale np. u schyłku ostatniego zlodowacenia (w tzw. późnym glacjale) klimat tego regionu był podobny jak dziś na północy Skandynawii. I można się było spodziewać, że właśnie wówczas żył osobnik (z podgatunku rodzaju: renifer), którego poroże, wraz z fragmentem czaszki, znaleziono kilka lat temu na dnie jednego z mazurskich jezior. Pozostałość czaszki wskazywała, że poroże nie jest po prostu zrzutem, lecz zwierzę zostało zabite na lodzie przez watahę wilków, albo upolowane przez człowieka. Datowanie 14C poroża (a poroże można datować jak zwykłe kości) potwierdziło przewidywany wiek, i zwróciło uwagę na jeszcze jedną możliwość. Otóż wiek 14C poroża: 10060±50 BP, zgadza się bardzo dobrze (w granicach niepewności) z wiekiem granicy między młodszym dryasem a holocenem, kiedy klimat ocieplił się drastycznie w ciągu kilkudziesięciu (a może nawet kilkunastu) lat. Może więc renifer nie spodziewał się, że owej wiosny lód jeziora będzie tak cienki, i po prostu się utopił? Hipoteza zapewne nie do sprawdzenia, ale możliwa i frapująca....
Kości były pierwszym materiałem jaki w 2002r przeznaczono do datowania jedynego znanego cmentarzyska neolitycznego z terenu Pustyni Zachodniej (Egipt). Kości pochodziły z grodu szkieletowego z tego cmentarzyska (szkic poniżej). W laboratorium 14C, po zastosowaniu procedury ekstrakcji kolagenu otrzymano bardzo niewiele ekstraktu (<0,01% masy kości), wyglądem nie przypominającego kolagenu, niemniej zawierającego węgiel w ilości pozwalającej na pomiar 14C techniką AMS. Obliczone daty 14C (na rysunku 28) okazały się kompletnie bezsensowne, kilka tysięcy lat młodsze od oczekiwań a nawet niemal współczesne.
Nie zachowanie kolagenu w kościach kopalnych płytko zalegających pod powierzchnią ziemi na obszarach pustynnych, jest zjawiskiem dość powszechnym (w języku potocznym można by powiedzieć, że kolagen się „wytopił”). Trzeba jednak zdać sobie sprawę, że procedury ekstrakcji kolagenu stosowane w laboratoriach radiowęglowych nie są doskonałe, i w ekstrakcie może się znaleźć niewielka ilość zanieczyszczenia będącego rezultatem degradacji kolagenu lub w ogóle inną substancją. Jeśli kolagenu jest dużo (więcej niż 1% masy kości), znaczenie tego zanieczyszczenia jest pomijalne, ale przy małej zawartości kolagenu, pomiar 14C, choć technicznie możliwy, nie jest datowaniem.
Jeszcze kilka lat temu, o stanie zachowania kolagenu dowiadywano się na podstawie ilości otrzymanego ekstraktu, dopiero po zakończeniu długotrwałej procedury chemicznej. Obecnie, większość laboratoriów 14C ocenia stan zachowania kolagenu na podstawie pomiarów zawartości azotu i węgla (lub składu ich izotopów stabilnych), które można wykonać dość szybko, przed przystąpieniem do ekstrakcji kolagenu
Wobec niemożności użycia kolagenu, do datowania tych samych kości spróbowano wykorzystać frakcję węglanową. Taka procedura może być stosowana wówczas, gdy wiemy, że w strukturze kości nie krystalizowały wtórne węglany. W sytuacji geomorfologicznej grobów (położonych płytko pod powierzchnią, w terenie piaszczystym, z dala od skał wapiennych) można było mieć pewność, że cała woda przesączająca się przez groby jest wodą opadową, nie niosącą jonów węglanowych. Rzeczywiście, daty 14C frakcji węglanowej okazały się bardzo dobre (zgodne ze sobą, zgodne z oczekiwaniami, i zgodne z wiekiem 14C węgli drzewnych pochodzących z wypełnienia grobu).
Zgodność dat 14C kości i węgli drzewnych pochodzących z tego samego grobu, bywa traktowana jako potwierdzenie poprawności dat 14C kości (które, jak opisano wyżej, mogą czasami być błędne). W datowaniu bowiem węgli drzewnych, zanieczyszczenie nie stanowi problemu. Trzeba jednak pamiętać, że datowany akurat fragment węgla drzewnego, może pochodzić z wewnętrznych przyrostów pnia drzewa, starszych o dziesiątki (lub setki) lat od momentu ścięcia drzewa. W omawianym przykładzie nie wiadomo, czy próbka „...burial 5” nie jest właśnie takiej natury (choć statystycznie jest również możliwe, że wszystkie datowane kości i węgle drzewne mają dokładnie ten sam wiek).
O niebezpieczeństwie datowania niereprezentatywnego materiału dobitnie przekonuje data 14C drewnianego przedmiotu (zapinki?) z wyposażenia grobu. Data 14310±90 BP jest niewątpliwie poprawna, ale świadczy tylko, że do wykonania przedmiotu (być może ok. 4500 BC) użyto bardzo starego drewna (które, nawiasem mówiąc, w panujących tam warunkach bardzo dobrze się zachowuje).
Wyniki kalibracji dat 14C próbek pobranych z grobów szkieletowych z cmentarzyska neolitycznego na obszarze Pustyni Zachodniej (Egipt, z badań M. Kobusiewicza). Z prawej: szkic grobu (rys. M. Kobusiewicz).
W omawianym poniżej przykładzie datowanie 14C służyło badaniom historii wynoszenia izostatycznego skorupy ziemskiej. Problem związany jest z deformacją powierzchni ziemi, spowodowaną ciężarem lądolodu. Taką deformację, którą można by sobie wyobrazić jak wgniecenie pewnego miejsca na powierzchni pomarańczy, w czasie ostatniego zlodowacenia objęty był, np. obszar wokół dzisiejszej Skandynawii. Po stopieniu się lodu deformacja ustępuje, jednak proces powrotu do pierwotnego kształtu trwa bardzo długo. Proces ten objawia się podnoszeniem powierzchni lądu w stosunku do poziomu morza, zwanym wynoszeniem izostatycznym. W efekcie, pewne obszary Skandynawii stały się lądem (znalazły się nad poziomem morza) dopiero w jakiś czas po stopieniu lądolodu skandynawskiego.
Możliwość badania historii tego procesu dają m.in. zagłębienia terenu w miejscach, które dawno temu znajdowały się daleko od brzegu lądu, później były zatokami morskimi, a w pewnym momencie, wskutek ciągłego podnoszenia powierzchni ziemi, stały się jeziorami, odciętymi od morza. Dla geologa badającego historię wynoszenia izostatycznego ważne jest, kiedy dany zbiornik został odcięty od morza, i na jaką wysokość od tego czasu podniosło się miejsce ostatniego kontaktu z morzem. Odpowiedź na pierwsze pytanie umożliwiają datowania 14C. Do datowania kwalifikuje się szczątki organiczne znajdowane w osadach tych jezior. Moment odcięcia jeziora od kontaktu z morzem zaznacza się w profilu osadu zmianą składu gatunkowego flory i fauny dawnego zbiornika. I właśnie wiek szczątków z tego szczególnego poziomu w osadzie, datuje moment odcięcia.
Problemem jest to, że do datowania trzeba wybrać szczątki roślin lądowych (szczątki organizmów wodnych nie dają precyzyjnych dat 14C z powodu efektu rezerwuarowego), a znajdując fragment rośliny lądowej w osadzie jeziornym, nigdy nie mamy pewności czy dostał się on do jeziora w tym roku, w którym powstał, czy też może najpierw przeleżał w innym miejscu, a w osadzie, w którym jest dziś, znalazł się wiele lat później. Innymi słowy, datując w ten sposób osad jeziorny, musimy się liczyć z niereprezentatywnością datowanych próbek.
W opisywanym przykładzie, z osadu każdego jeziora do datowania wybrano po pięć próbek, pozyskanych z poziomów profilu rozłożonych równomiernie (np. co 5 cm) wokół poziomu, na którym zaznaczyło się odcięcie jeziora. W ten sposób, analizie poddano kilkanaście jezior (Risberg i inni 2005, 2008). Dla wiarygodności datowania bardzo istotne jest to, że różnice wieków 14C sąsiednich próbek z danej serii (pobranych w równomiernych odstępach głębokości) są do siebie podobne, jeśli odpowiadające tym wiekom odcinki krzywej kalibracyjnej są mniej więcej proste, natomiast daty 14C w seriach z innych przedziałów czasu rozkładają się nierównomiernie, i stosownie do kształtu krzywej kalibracyjnej. Oznacza to, że osad każdego jeziora przyrastał mniej więcej w stałym tempie, a datowany materiał nie zawiera szczątków redeponowanych. Innymi słowy, układ dat 14C względem krzywej kalibracyjnej znacznie poprawia zaufanie co do reprezentatywności datowanych tu próbek.
Założenie, że odstępy czasu pomiędzy próbkami są do siebie zbliżone, pozwala wyraźnie zmniejszyć niepewność dat kalibrowanych. Podobny efekt jest omówiony bardziej szczegółowo w rozdziale Określanie granic fazy na podstawie wieku sekwencji obiektów
Datując w ten sposób momenty odcięcia wielu jezior na obszarze ok. 100x100 km, w rejonie Uppsali, położonych na różnych wysokościach npm, można było stwierdzić, że wynoszenie izostatyczne przebiegało na różnych obszarach różnie, a więc kształt zdeformowanej powierzchni zmieniał się w całkiem skomplikowany sposób.
Z lewej u góry: daty 14C próbek z osadów 4 jezior (po 5 próbek z każdego jeziora), analizowanych w badaniach historii wynoszenia izostatycznego okolic Uppsali w Szwecji (Risberg i inni 2005, 2008). U dołu: wyniki kalibracji dat 14C 5 próbek z jednego jeziora. Rozkłady „białe”, rysowane tylko linią, odpowiadają pojedynczym datom. Rozkłady „czarne” są obliczone przy przyjęciu dodatkowego założenia, że różnice wieków kalendarzowych kolejnych datowanych próbek były mniej więcej takie same. Z prawej u góry: wysokość wyniesienia miejsca ostatniego kontaktu jeziora z morzem, w funkcji czasu, jaki upłynął od chwili odcięcia od morza. Przedstawiono dane otrzymane z kilkunastu jezior. Każdy punkt reprezentuje jedno jezioro.
Próby broni jądrowej, robione od wczesnych lat 50-tych XX-go stulecia, spowodowały drastyczny wzrost stężenia radiowęgla w środowisku. W 1963r stężenie 14C w atmosferze osiągnęło poziom maksymalny (niemal dwukrotnie wyższy od naturalnego, a od tego czasu szybko spada i dziś, w roku 2008, wynosi ona ok. 105% średniego naturalnego stężenia.
Jak wiemy, zmiany stężenia 14C w atmosferze w ogólności komplikują datowanie radiowęglowe (narzucając konieczność kalibracji), tak, że zwykle niepewność wieku po kalibracji jest większa od niepewności wieku 14C. Jednym z najbardziej kłopotliwych jest okres 1650-1950 AD, w którym zmiany stężenia 14C spowodowały istnienie tzw. plateau historycznego. To plateau sprawia, że kalibracja daty 14C pojedynczej próbki z tego okresu (np. 150±30 BP) daje bardzo szeroki zakres niepewności daty kalendarzowej (właśnie od ok. 1650 AD do ok. 1950 AD).
Paradoksalnie, znacznie większe zaburzenie stężenia 14C, spowodowane próbami broni jądrowej, sprawia, że daty 14C próbek z ostatnich 50 lat można kalibrować nawet z dokładnością do roku! Wynika to stąd, że wieki 14C np. fragmentów roślin, które wyrosły w latach 1974, 1975 i 1976, wynoszą odpowiednio -2740 BP, -2550 BP i -2440 BP, różnią się więc od siebie o ponad sto lat. Przy 30-to letniej dokładności pomiaru wieku 14C, odróżnienie takich fragmentów na podstawie dat 14C jest niemal pewne. To, że wieki 14C tych próbek są ujemne, może być zaskakujące... Cóż, taka jest konwencja i nie musimy się nią martwić: przecież i tak na końcu operujemy wiekiem kalibrowanym. Większy kłopot w tym, że aby móc skorzystać z możliwości tak dokładnego datowania, trzeba mieć próbki utworzone (z węgla asymilowanego z atmosfery) w ciągu jednego sezonu (w ostateczności: mieszankę materiału z 2-3 sąsiednich lat).
Takim materiałem są np. fragmenty mchów (z rodzaju: Sphagnum), zachowane w profilach torfowych. Przykładowe wyniki kalibracji dat 14C takich fragmentów pobranych z torfowiska w Saariselkä (pn. Finlandia, Räsänen i inni 2007), przedstawiono poniżej. Rozkłady prawdopodobieństwa dat kalibrowanych próbek z 30, 50 i 70 mm są parami bardzo wąskich maksimów. Te próbki na pewno pochodzą z okresu zaburzenia stężenia 14C spowodowanego próbami jądrowymi, a powstanie pary maksimów dla każdej próbki, wytłumaczone jest na górnej części poniższego rysunku. Układ maksimów na wykresie wiek-głębokość nie pozostawia wątpliwości, które maksima z kolejnych par odpowiadają prawdziwym datom kalendarzowym próbek. Daty kalibrowane próbek z 90 mm i głębiej, mają postać szerokich rozkładów prawdopodobieństwa, gdyż próbki pochodzą z okresu objętego tzw. plateau historycznym krzywej kalibracyjnej.
W datowaniu profili torfowych, takich jak ten z Saariselkä, nie chodzi jedynie o określenie wieków wybranych poziomów profilu. Torfowiska (jak wiele osadów) przyrastają stale, i w ich profilu historia zmian środowiska zapisana jest w sposób ciągły. Datowanie 14C serii próbek z profilu ma służyć zbudowaniu szczegółowej chronologii profilu, tzw. modelu wiek-głębokość, według którego można by określić datę jakiegokolwiek poziomu w profilu. W opisywanym przykładzie, rozkłady dat kalibrowanych poszczególnych próbek narysowano tak, że ich położenie względem osi pionowej odpowiada głębokości pochodzenia próbki. Takie przedstawienie sprzyja wyobrażeniu modelu wiek-głębokość: zwykle powinna to być krzywa monotoniczna (taka, że większej głębokości zawsze odpowiada starszy wiek), ciągła (osad przyrastał stale) i w miarę gładka (tempo przyrostu osadu nie zmieniało się zanadto). I jeszcze jedno (!): krzywa nie powinna omijać rozkładów prawdopodobieństwa dat kalibrowanych (zakładamy przecież, że reprezentują one kalendarzowe wieki analizowanych poziomów). Dla profilu Saariselkä dobrym modelem wiek-głębokość mogłaby więc być linia „0”. Jednak dodatkowe informacje (których tu nie będziemy omawiać) wskazują, że torf odłożony między 100 a160 mm przyrastał znacznie szybciej niż w okresach wcześniejszych i późniejszych. Sugeruje to, że poprawny model jest raczej zbliżony do linii „1” lub „2”.
W chwili obecnej, budowanie modeli wiek-głębokość na podstawie serii dat 14C stosuje się na tyle często, że trwają intensywne prace nad opracowaniem algorytmów numerycznych, pozwalających obliczyć optymalny przebieg krzywej wiek-głębokość, a także jej niepewność. Ale tego już w tej książce nie omówimy....
Po lewej: krzywa kalibracyjna 14C dla ostatnich 350 lat. Szczegóły krzywej kalibracyjnej do roku 1950 przedstawiono na osobnej linii A (dla której skalę wieku 14C pokazano z lewej strony wykresu). Po roku 1950 AD krzywa osiąga wartość -5000 lat i wymaga osobnej skali (po prawej). Dwie daty 14C: 150±30 BP oraz -2500±30 BP pokazano w postaci par linii poziomych. Po prawej: wyniki kalibracji dat 14C szczątków torfowca z różnych głębokości w profilu torfowiska w Saariselkä (Räsänen i inni 2007). Profil pobrano w roku 2002 (rok 2002 odpowiada głębokości 0 mm). Rozkłady prawdopodobieństwa dat kalibrowanych próbek z 30, 50 i 70 mm mają postać par bardzo wąskich maksimów. Linie 0, 1 i 2 reprezentują różne modele wiek-głębokość.
Ten brzmiący kolokwialnie tytuł rozdziału dotyczy masy prawdopodobieństwa. Szary obszar na poniższym wykresie to właśnie prawdopodobieństwo, w swej masie wynoszącej 1. Jest to więc wykres gęstości prawdopodobieństwa, podobnie jak w przypadku wykresu kalibracyjnego pojedynczej daty. Różnica polega na tym, że na ten wykres składa się 66 dat.
Gęstość prawdopodobieństwa skumulowanych 66 dat osuwisk karpackich (Margielewski 2006). (Jednostka ka oznacza kilo-annum, czyli tysiąc lat.)
Metoda, o którą tu chodzi, jaką posługują się geomorfolodzy do wykrycia okresów klimatu o interesujących ich cechach (np. wilgotnych), w zasadzie jest sprzeczna z główną ideą metody naukowej. Badacz współczesności, który nie może zbadać wszystkich egzemplarzy interesującego go rodzaju pobiera losową, czyli reprezentatywną próbę. Badacz przeszłości oczywiście jest w trudniejszej sytuacji. Poza tym, że przeszłość nie jest tak dostępna jak teraźniejszość, to w bieżącym temacie radiowęglowym istotna jest kwestia kosztów pomiarów. Reasumując, daty, jakimi dysponuje badacz, na pewnym etapie zajmowania się swoim terenem, pochodzą z najróżniejszych próbek, pobranych wg dość różnych zasad. Bardzo trudno jest klarownie przedstawić sens, w jakim daty owe są czegoś reprezentacją. Niemniej jednak sensu owego odmówić zupełnie też nie można, a jest on następujący. Pobierając próbkę drewna z osuwiska otrzymujemy datę zwalenia drzewa przez osuwisko. Nie pobierzemy próbki z osuwiska, którego nie było (pomijając błędy rozpoznania osadu). Mając 66 dat osuwisk, które nie są równomiernie rozłożone w czasie, wnioskujemy, że obserwowane skupiska dat odpowiadają okresom wzmożonej aktywności osuwiskowej.
Technicznie, powyższy wykres otrzymywany jest jako suma funkcji kalibrowanych dat.
Jak zwykle w podejściu statystycznym, ważna jest liczba pomiarów (dat). W tym przykładzie jest ich 66 na cały okres od maksimum zlodowacenia (a więc właściwie niezbyt wiele). Oczywiście nie można wnosić, że każde maksimum na powyższym wykresie jest skutkiem fazy wilgotnej, jeżeli owo maksimum to jedna data. Powinna to być jednak grupa dat, i tak jest w młodszej (<9.5 ka BP) części powyższego wykresu. O liczbie dat w danym maksimum świadczy powierzchnia pod krzywą.
Na rysunku wyżej, całe szare pole ma powierzchnię równą 1 (uwzględniając jednostki na obu osiach), jak to zawsze jest przy funkcjach gęstości prawdopodobieństwa. Jednak fakt ten nie ma większego, praktycznego znaczenia dla geologicznej interpretacji wykresu.
Podany niżej przykład, dotyczący Walii, bazujący na 5000 datach, wskazuje na typową, przestrzenną nierównomierność rozłożenia miejsc poboru próbek do datowania. Najciemniejsze „piksele” (rysunek niżej) zawierają od 200 do 400 dat. Autorzy opracowania (www.museumwales.ac.uk/en/radiocarbon/analysis/2/) ubolewają jednak, że wiele obszarów (najjaśniejszych) ma mniej niż 25 dat, choć nie ma takiego kwadratu, który nie miałby ani jednej daty.
Typowa, oczywista nierównomierność pokrycia terenu datowaniami. Walia. Bok kwadratu - 25 km, całkowita liczba dat – ponad 5000. (Muzeum Narodowe Walii)
Celem datowań były tu zarówno zagadnienia paleogeograficzne jak i archeologiczne, co w zasadzie powinno doprowadzić do pewnego wyrównania pokrycia terenu datami. Trudno powiedzieć, czy równomierność przestrzennego rozkładu dat ma, sama w sobie jakąś wartość. Niewątpliwie jednak warto zdawać sobie sprawę z różnorodności przyczyn mających wpływ na wybór stanowisk do datowań.
Metoda 14C służy archeologom do datowania zabytków zbudowanych z materiałów pochodzenia organicznego, zawierających węgiel. Często obiekt, którego wiek chcemy poznać sam jest kawałkiem drewna, tkaniną (jak np. Całun Turyński), tak, że poddając go pomiarowi otrzymamy bezpośrednio odpowiedź na pytanie o wiek. Oczywiście odpowiedź ta podlegała będzie ograniczeniom związanym z samą metodą i z technika pomiarową, nie będzie więc zupełnie jednoznaczna.
Czasem jednak zabytek, który wysyłamy do laboratorium radiowęglowego jest tylko „próbką” reprezentującą interesujący nas w istocie obiekt lub zdarzenie. W zasadzie nie jest ważny wiek jakichś ziarniaków, a wiek obiektu archeologicznego, z którego zostały one pobrane.
Metoda 14C wskaże wiek próbki, a rzeczą archeologa jest powiązanie próbki z obiektem, kulturą, zdarzeniem, którego wiek chce określić.
Klasycznym przykładem może tu być pomiar wieku węgli drzewnych. Drewno, również zwęglone, należy do najlepszych materiałów, a jednak i z nim może być kłopot wynikający z faktu, że drzewa żyją długo. Stuletnie drzewo nie jest czymś wyjątkowym, a sto lat, nawet biorąc pod uwagę ograniczoną dokładność pomiaru wieku, nie jest pomijalnie małą niepewnością. Jeżeli zabytek wysłany do laboratorium przypadkiem pochodził z wewnętrznej części pnia, co może być trudne albo wręcz niemożliwe do rozpoznania, to datowane będzie drewno, które powstało, na przykład sto lat przed momentem ścięcia drzewa, który interesował archeologa.
Pozostając przy drewnie, zauważmy, że dobry, dębowy materiał w postaci belki, użyty w konstrukcji interesującego nas obiektu obronnego, mógł być pozyskany z innej, starszej, zniszczonej konstrukcji. Wynik datowania tego drewna charakteryzował będzie oczywiście tę pierwszą konstrukcję, z której istnienia archeolog może sobie nawet nie zdawać sprawy, a która może być dziesiątki, jeśli nie setki lat starsza. Skrajnym przypadkiem mogą być tzw. czarne dęby znajdowane w żwirowiskach, których wiek liczy się w tysiącach lat, a które używane są dziś do wyrobu mebli i ozdób.
Na stanowisku archeologicznym możemy też mieć węgle drzewne naniesione wiatrem lub płynącą wodą, które nie mają żadnego związku z badanymi obiektami.
Zupełnie wolne od zarzutu związanego z długowiecznością drzew i częściowo wolne od zarzutu powtórnego użycia są obiekty jednoroczne, takie, które powstają w ciągu jednego sezonu wegetacyjnego. Typowe obiekty archeobotaniczne jakimi są ziarniaki zbóż, łupiny orzechów, trawa, liście, również niezbyt grube gałązki, pobierały węgiel z atmosfery w tym roku, w którym zostały przez człowieka użyte, a więc nadają się doskonale jako nośnik informacji o czasie pewnej aktywności kulturowej, nie wprowadzając żadnego przesunięcia. Krótki czas „przyrodniczego” powstawania obiektu skorelowany jest zwykle z krótkim czasem jego „kulturowej” eksploatacji, co dodatkowo przemawia za wykorzystaniem takich materiałów jak wosk, skóry, sierść, lniane powrozy, wyroby z łyka, konopi itp.
W literaturze archeologicznej (Czebreszuk, Szmyt 2001) spotyka się skrótowe klasyfikacje próbek, ułatwiające cytowania wyników datowania. I tak, pod względem mierzonego materiału, próbki podzielić można na: I – obiekty krótko żyjące (kości, ziarna, pojedyncze słoje drzew), II – długo żyjące (węgle drzewne, gleby), III – przetworzone materiały krótkożyciowe (np. przepalone kości). Natomiast pod względem ścisłości powiązania próbki z kontekstem, podział jest następujący: A – próbki z tzw. obiektów zwartych, jednoznacznie związanych z epizodem osadniczym, B – próbki z osad o jasnej przynależności kulturowej i C – próbki o niepewnym przypisaniu do kultury. Stosując tego typu klasyfikację można podsumowywać udział różnych typów próbek w badaniach obejmujących wiele kultur czy osad, w których dysponujemy dziesiątkami dat.
Omawiając zagadnienie związku obiektu z jego otoczeniem warto przypomnieć oczywistą prawdę, iż dobrze jest wiedzieć z czym ma się do czynienia, jaki materiał przeznaczamy do pomiaru wieku. Szczątki organiczne pochodzenia roślinnego powinny zostać oznaczone (z możliwą do uzyskania dokładnością) przez paleo- lub archeobotanika. Interesująca jest przy tym informacja o jednorodności próbki. Nie należy popełniać błędu wynikającego z pośpiechu, a polegającego na tym, że część próbki dostarcza się botanikowi, a inną część, równolegle wysyła się do laboratorium radiowęglowego. Czasami jednak możliwe jest zachowanie zasady reprezentatywności obu próbek, szczególnie przy większych ilościach względnie jednorodnego materiału.
To ważne pojęcie określa sytuację, która ma krytyczne znaczenie dla poprawności interpretacji wyniku datowania. Zagadnienie zgodności próbki z kontekstem archeologicznym dotyczy oczywiście nie tylko metody 14C, ale ma ogólne znaczenie, dlatego nie będzie tu szerzej omawiane. Oczywiste jest, że do datowania najlepiej przeznaczyć próbkę, której kontekst archeologiczny jest jasny i pewny, w stopniu, w jakim w ogóle można mieć pewność w pracach wykopaliskowych. Najlepsze są obiekty zamknięte, zwarte.
Typowym niebezpieczeństwem jest przemieszanie warstw, błędne ich rozpoznanie lub przemieszczenie pojedynczych, drobnych obiektów. Paradoksalnie, z natury korzystna okoliczność, że do pomiaru techniką AMS wystarczają bardzo małe obiekty, sprzyjać może błędom.
Pobranie do pomiaru tylko jednego obiektu z kontekstu, tym bardziej małego, jest ryzykowne. Zawsze lepiej mieć więcej próbek. Oczywiście pomiar dwóch próbek kosztuje dwa razy więcej, jednak spodziewany zysk informacji jest raczej większy. Po fakcie, jeżeli dwa obiekty dały ten sam wiek, skłonni będziemy narzekać, że zmarnowaliśmy jeden pomiar. Oczywiście logicznie rzecz ma się niemal odwrotnie, bez zmierzenia dwóch próbek nie wiedzielibyśmy, jak reprezentatywny jest pojedynczy wynik datowania.
Czas składa się z nieskończonego ciągu chwil; ta raczej poetycka niż filozoficzna sentencja jest tu o tyle na miejscu, że często wynik pomiaru wieku widziany jest jako jedna liczba, siłą rzeczy wskazująca na chwilę. We wczesnych fazach rozwoju metody radiowęglowej zdarzało się, że wynik pomiaru jednej próbki, np. 1200±100 BP traktowano jako wskazujący na czas trwania osady; od 1300 do 1100 BP. Jest to zupełne nieporozumienie. Wynik pomiaru wieku ma rozciągłość w czasie, ale jest to rozciągłość w jakimś sensie negatywna, nie dość, że nie wnosząca informacji (o czasie trwania), ale przeciwnie, osłabiająca informację o chwili. Istnienie niepewności pomiarowej (±) wskazuje, że nasza znajomość pozycji czasowej pewnej chwili (np. momentu zżęcia zboża) jest rozmyta.
To pierwsza rozciągłość w czasie, negatywna, abstrakcyjna. Materialne są dwie następne.
Czas funkcjonowania w danym miejscu kultury, osady może być długi. Rzadko będzie paruletnią „chwilą”. Mierząc wiek serii próbek z danego obiektu chcielibyśmy móc wnioskować o czasie jego trwania.
Jeżeli nawet badamy obozowisko założone na jeden sezon, albo osadę, która zakończyła swoje istnienie jak Pompeje (Kadrow 1998), to eksploatowane w niej drewniane narzędzia, niekoniecznie były nowe, a co najmniej mogły być wykonane ze starych materiałów. Taka jest trzecia przyczyna tego, że datowanie 14C kilku próbek z tej samej osady, da różne wyniki. Przy tym wyciąganie wniosków z różnic pomiędzy otrzymanymi wartościami łatwo podlegać będzie nadinterpretacjom wynikającym z niedostrzegania ograniczenia związanego z niemożnością rozdzielenia, w wynikach pomiarów, trzech źródeł rozciągłości w czasie. Dwa wyniki: 1200±50 BP i 1350±50 BP różnią się bo:
Spójnik logiczny lub oznacza tu alternatywę, a nie dysjunkcję, jak to czasem się zdarza w języku potocznym. Tak więc, jednocześnie mogą mieć miejsce wszystkie trzy czynniki
Niżej znajduje się przykład interpretacji pięciu wyników pomiaru wieku obiektów z górnopaleolitycznej osady, wskazujący na konieczność uwzględnienia niepewności pomiarowych.
Poniższe przykłady ilustrują możliwość włączenia do interpretacji wyników datowania metodą 14C informacji dodatkowych, niezależnych, czyli nie wynikających z pomiarów 14C. Takimi, niezależnymi danymi często są ograniczenia dotyczące kolejności chronologicznej, porządkujące obiekty w czasie, lecz nie wskazujące na konkretny wiek. Zdarza się jednak też, że mamy dane ograniczające wiek badanego obiektu, z góry lub z dołu. Na przykład wiek pochówku, w którym znaleziono monetę pochodzącą z roku 250 AD nie może być starszy od tej daty. Jeżeli przy tym wynikiem pomiaru wieku jest przedział 300 - 200 AD, to informacja o monecie będzie miała duży wpływ na interpretację tego wyniku.
Matematyczną podstawą stosowanego tu postępowania jest twierdzenie Bayesa. Praktycznie obliczenia realizuje się metodą MCMC (Buck i inni 1996). Skrót MCMC oznacza Markow chain Monte Carlo. Łańcuchy Markowa to serie liczb takich, że następna zależy, w pewnym stopniu, od poprzedniej. Monte Carlo to miasto ruletki – symbolu losowości. Metoda Monte Carlo polega na symulowaniu rzeczywistości za pomocą liczb losowych.
Metoda losowa MCMC stosowana jest ze względu na złożoność problemów do rozwiązania. Można na przykład mieć pięć obiektów, co do których wiemy, że są kolejno coraz młodsze i jeszcze trzy obiekty, również powiązane chronologicznie, o których wiemy, że wszystkie są młodsze od obiektu drugiego pierwszej serii. Taką wiedzę trzeba „dodać” do ośmiu rozkładów prawdopodobieństwa kalibrowanych wyników pomiarów wieku tych wszystkich obiektów. Pamiętamy przy tym jak skomplikowany jest kształt tych rozkładów.
Podane niżej przykłady zrealizowane zostały za pomocą programu kalibracyjnego OxCal, wykorzystującego, między innymi metodę MCMC. Program ten ma dość duże możliwości jeśli chodzi o uwzględnianie dodatkowej wiedzy a priori.
Przykład ten dotyczy najprostszej, modelowej sytuacji. Otóż, wiemy, że obiekt, którego wiek zmierzono metodą 14C jest starszy od 1380 AD. Załóżmy, że data ta, znana ze źródeł historycznych jest pewna. Nie będziemy więc uwzględniali ewentualnego prawdopodobieństwa, że mierzony obiekt jednak jest młodszy (np. z prawdopodobieństwem 0,1).
Niech konwencjonalny wynik pomiaru wieku omawianego obiektu wynosi 500±50 BP. Okazuje się, że tak prosta liczba daje, po kalibracji wyraźnie dwudzielny rozkład prawdopodobieństwa (patrz, rysunek niżej). Otrzymujemy dwa przedziały (1300 AD - 1370 AD) i (1380 AD - 1490 AD), przy czym pierwszemu odpowiada prawdopodobieństwo 15%, a drugiemu 80% (co razem daje oczywiście 95%).
Pierwszy, starszy przedział wieku jest mniej prawdopodobny (15%). Jednak konfrontacja z niezależną datą 1380 AD nie pozostawia wątpliwości, młodszy przedział (80%) jest niemożliwy. Jako końcowy wiek badanego obiektu trzeba więc przyjąć przedział 1300 AD-1370 AD. Przykład jest tak dobrany, żeby nie było kłopotu z dzieleniem rozkładu prawdopodobieństwa, wiek 1380 AD dokładnie pokrywa się z granicą jednego z przedziałów.
Przyjmujemy więc przedział, którego prawdopodobieństwo, wg pomiaru 14C wynosi tylko 15%. Może jednak jest to aż 15%. W standardowych wnioskowaniach statystycznych nie nazywa się takiego prawdopodobieństwa małym. Nie ma więc sprzeczności między wynikiem pomiaru, a wiedzą a priori, o ograniczeniu 1380 AD. Co jednak, gdyby arbitralna granica 1380 AD odcinała tylko 4% rozkładu prawdopodobieństwa? Wartość 4% to dość mało, mniej niż standardowy poziom istotności statystycznej wynoszący 0,05 (5%). Taki wynik konfrontacji pomiaru z wiedzą a priori każe poddać w wątpliwość jeden z tych dwóch elementów. W tym momencie kończą się ścisłe metody obliczeniowe, pozostaje subiektywna ocena rzetelności dwóch źródeł informacji.
Przedziałowi 1300 AD-1370 AD, po zaakceptowaniu go nie odpowiada już prawdopodobieństwo 15%, lecz niemal 100%. Po odrzuceniu przedziału młodszego, który stanowił większość, w tym przedziale leży prawie całe prawdopodobieństwo. Ten nowy rozkład prawdopodobieństwa nazywany jest rozkładem a posteriori. Standardowy, 95 procentowy przedział wieku, według tego rozkładu niemal dokładnie pokrywa się z przedziałem 1300 AD-1370 AD.
Wykres rozkładu prawdopodobieństwa a posteriori, po pomiarze wieku i po uwzględnieniu informacji a priori o granicznej wartości 1380 AD. Rozkład a posteriori wykreślony jest na czarno, cały, zgodnie z założeniem leży na lewo od daty 1380 AD. Czarny wykres wraz z białym wykresem (linią) to rozkład wynikający z pomiaru wieku metodą 14C. Widać, że wiek 1380 AD (kreska na wykresie) odcina większą część tego rozkładu, nie dopuszczając, że obiekt jest młodszy. Wynik ten otrzymany został za pomocą programu OxCal.
Powyższy wykres jak i obliczenia wykonane zostały w programie OxCal. Program ten ma duże możliwości uwzględniania dodatkowych informacji o wieku. Powyższy przykład daje się zapisać we własnym języku komend programu OxCal - CQL (Chronological Query Language). Podaje się tam informację o kolejności zdarzeń, wiek konwencjonalny, wiek kalendarzowy, któremu również może towarzyszyć niepewność, oraz typ zależności czasowej, np. terminus ante quem.
W przykładzie ilustrowanym poniższym rysunkiem zmierzono wiek 6 obiektów. Dodatkowa, chronologiczna informacja, jaką mamy o tych obiektach polega na tym, iż wiemy, jaka jest ich kolejność powstawania. Kolejność ta jest taka, w jakiej wyniki pomiarów ustawione są na rysunku. Widoczne są dwie, pozorne niezgodności.
Teoretycznie najstarszy obiekt dał wynik 1460±50 BP, podczas gdy wiek radiowęglowy drugiego w kolejności, młodszego obiektu jest 1560±50 BP. Różnica wynosi 100 lat, w odwrotnym niż w założeniu kierunku, jednak przy niepewnościach ±50 lat, jest to w zupełności do przyjęcia. Pozostałe wyniki są niemal idealnie zgodne, jeśli chodzi o zachowanie sekwencji. Jak widać na rysunku, rozkład pojedynczej próbki 1560±50 BP został poważnie obcięty dla starszych dat, na podstawie rozkładu 1460±50 BP i informacji, że ten drugi odpowiada obiektowi, jednak starszemu.
Badacz pyta o czas trwania fazy, w trakcie której powstały datowane obiekty.
Rozkłady prawdopodobieństwa wieku sześciu obiektów i granic fazy, po uwzględnieniu informacji o czasowej kolejności obiektów. Rozkłady „białe”, rysowane tylko linią, odpowiadają indywidualnym, niezależnym datom 14C. Rozkłady „czarne” są rozkładami a posteriori. Skrajny rozkład górny i dolny, wskazują wiek granic trwania fazy. Wykres otrzymany został za pomocą programu OxCal.
Wiek granicy fazy, podobnie jak wiek poszczególnych obiektów powstałych w czasie jej trwania, wyraża się przez rozkład prawdopodobieństwa. Rozkłady te, dla obu granic, widoczne są na powyższym rysunku. Program OxCal domyślnie rysuje pod rozkładami przedziały obejmujące 68% i 95% prawdopodobieństwa (opcja ta została tu wyłączona dla przejrzystości rysunku). Tak więc, można dla granic fazy podać standardowe, 95 procentowe (dwu-sigmowe) przedziały ufności.
Skutek widocznego obcięcia rozkładu dla 1560±50 BP, będącego wynikiem faktu, że starszy obiekt dał wynik o 100 lat młodszy, jest dość poważny dla dolnej granicy fazy. Gdyby nie było danych o sekwencji, granica ta przesunęłaby się dość znacznie w dół.
Widoczne jest też zwężenie wszystkich rozkładów dla poszczególnych mierzonych obiektów. Przy pomocy dodatkowej, niezależnej informacji a priori uzyskujemy dokładniejsze wyniki.
Dwadzieścia cztery pomiary wieku próbek, głównie węgli drzewnych, związanych z kulturą lendzielską, na stanowisku w Osłonkach na Kujawach, charakteryzują czas rozkwitu kultury. Najstarszy i najmłodszy wiek radiowęglowy (niekalibrowany) wynoszą odpowiednio: 5690±140 BP i 4950±150 BP. Autorzy (Grygiel, Bogucki 1997) zwracają uwagę, że większość wyników mieści się w zakresie 5500-5300 BP. Biorąc pod uwagę stosunkowo dużą niepewność pomiarową (ocenioną w laboratorium zapewne bardzo realistycznie), stwierdzić można, że 200 letni zakres wieku jest stosunkowo wąski. Trudno w takiej sytuacji byłoby mówić o dokładności wyznaczenia tego odcinka czasu, czego też autorzy nie czynią, przechodząc do wyników kalibrowanych.
Łączny rozkład gęstości prawdopodobieństwa wieku 24 próbek. Rozkład ten jest sumą 24 rozkładów indywidualnych. Z wykresu odczytać można jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia, w badanym obiekcie artefaktu o danym wieku. Dla poprawności matematycznej należy zwrócić uwagę, że wielkość odkładana na osi pionowej to nie prawdopodobieństwo, a gęstość prawdopodobieństwa, czyli prawdopodobieństwo przypadające na jeden rok (wymiar: rok-1). Rysunek pochodzi z pracy (Grygiel, Bogucki 1997).
Mając 24 pomiary wieku próbek w pewnym sensie homogenicznych, pochodzących z jednej fazy, których a priori, przed pomiarem nie można zasadnie podzielić na jakieś kategorie, wyniki ich można potraktować łącznie. Załączanie w publikacji osobno 24 krzywych rozkładów prawdopodobieństwa po kalibracji mijałoby się z celem, jakim jest przedstawienie posiadanej informacji o wieku i czasie trwania osadnictwa. Pojedyncze wyniki, które razem mają rozrzut zaledwie kilkakrotnie większy od przeciętnej niepewności pomiarowej są, w pewnym sensie wartościami losowymi. Gdyby powtórzyć pomiary, dla tych samych próbek, poszczególne wyniki byłyby inne, do tego stopnia, że niektóre próbki mogłyby się pozamieniać miejscami na osi czasu. Byłyby np. pary próbek, które w drugiej (hipotetycznej) serii pomiarowej miałyby odwrotną kolejność w czasie. Dopiero o łącznym rozkładzie wieku, dla wszystkich próbek powiedzieć można, że nie podlega w istotnym stopniu losowym fluktuacjom i jest obrazem rzeczywistej sytuacji. Główna „masa” prawdopodobieństwa mieści się między 4700 BC a 3700 BC. Wiek wykraczający poza ten czas można uważać za wynik naturalnego, losowego rozrzutu związanego z pomiarem. Autorzy odczytują z wykresu czas rozkwitu osady na 4300 - 4050 BC. Przy czym można by dyskutować, czy dostatecznie uwzględnili fakt, jak wiele zależy tu tylko od kształtu krzywej kalibracyjnej. Innej natury komentarz, jaki można tu dodać, to uwaga o braku pionowych linii, które ułatwiłyby odczyt, przy jakim wieku krzywa rozkładu prawdopodobieństwa osiąga wysokie wartości. Podczas gdy linie poziome, pozwalające precyzyjnie odczytać prawdopodobieństwo nie są konieczne, gdyż prawdopodobieństwo (ani jego gęstość) nie jest wielkością, którą trzeba znać dokładnie.
Dwa wyniki pomiaru wieku tego samego obiektu praktycznie zawsze będą się różniły, wynika to z nieuniknionego czynnika losowego w pomiarze. Rozpatrzmy następujące wyniki pomiaru wieku różnych obiektów z obozowiska łowców mamutów (Cyrek i inni 2002):
Zacznijmy logiczną analizę od faktu, że występują tu dwa wyniki identyczne co do wieku; 24200 lat BP (niepewności pomiarowe są nieco różne). Gdyby nie dokonano prawidłowego zaokrąglenia liczb, do setek lat, to wyniki prawie na pewno różniłyby się, co najmniej na pozycji jednostek. Czy należy się cieszyć, że mamy jasne wskazanie na równowiekowość odpowiednich obiektów? Otóż fakt, że dwa pomiary są identyczne ma charakter przypadku, przypadku względnie prawdopodobnego, a wiec nie wzbudzającego wątpliwości. Jednak trzeba podkreślić, że wobec faktu, iż niepewności pomiarowe są rzędu 500 lat, bliskość wartości 24900 i 24200 niesie informację zbliżoną do tej, jaka wynika z identyczności liczb 24200 i 24200. Dwa wyniki 24900 i 24200 nie pozwalają na jednoznaczne stwierdzenie, że jeden obiekt jest starszy od drugiego. Istnieje w tej kwestii zaledwie bardzo słabe wskazanie.
Zasadniczo nieprawidłowe jest (ze statystycznego, czyli logicznego punktu widzenia) wybieranie pojedynczych liczb z grupy liczb i interpretowanie ich. Na przykład, każda grupa losowych liczb zawierała będzie liczbę najmniejsza i największą. Z faktu tego jednak nic nie wynika. Zinterpretowanie największej liczby jako mającej przyczynę (najstarszy obiekt) będzie błędem. Tak byłoby dla liczb losowych. Czy przytoczona grupa wyników pomiaru wieku to liczby losowe?
Podkreślmy jeszcze raz, że niepewność pomiarowa wynosi ok. 500 lat. Patrząc na wykres funkcji Gaussa, przypomnijmy sobie interpretację niepewności pomiarowej. Średni wiek, dla omawianej piątki pomiarów, wynosi 24380 BP. Otóż otrzymanie z rozkładu Gaussa o średniej 24380 i odchyleniu standardowym 500, liczb takich jak tu omawiane nie jest niczym niezwykłym. Nie ma żadnych podstaw by traktować te wyniki jako pochodzące z pomiaru obiektów o różnym wieku. Nie ma podstaw by odrzucić hipotezę, że mierzone obiekty są równowiekowe. Oczywiście nie ma też podstaw by odrzucić hipotezę, że najstarszy obiekt ma 25100 lat BP a najmłodszy 23500, ale metoda naukowa każe przyjąć jako obowiązującą, hipotezę najprostszą, niosącą najmniej informacji, nie wskazującą na jakiekolwiek różnice.
Obliczeniowo weryfikacja tej najprostszej hipotezy wygląda jak następuje. Odchylenie standardowe pięciu cytowanych oznaczeń wynosi, jak się okazuje 640 lat. Odchylenie standardowe
jest miarą rozrzutu wyników i dla liczb losowych powinno, mniej więcej wynosić tyle, co standardowa niepewność pomiarowa wyników. Co prawda 640 to nieco więcej niż 450 ale za mało by odrzucić hipotezę, iż wszystkie obiekty są równowiekowe. Po przyjęciu hipotezy o krótkim okresie istnienia obozowiska, uzasadnione jest posługiwanie się średnim wiekiem, który wynosi ok. 24400 lat BP. Ponadto można obliczyć dokładność tej średniej, która, jak to dokładność średniej obliczonej z kilku liczb jest większa niż dokładność każdej z nich, z osobna. Niepewność średniej wynosi ±290 lat.
Tak pięć wyników pomiarów wieku metodą 14C różnych obiektów z obozowiska, nie pozwala zanegować przypuszczenia, iż mogło ono trwać względnie krótko. A przyjmując to przypuszczenie za prawdziwe, wiek obozowiska można podać jako: 24400±290 BP. Przy czym słowo „względnie”, odnoszące się do krótkotrwałości obozowiska oznacza „względem niepewności pomiarowych”. Ponieważ niepewności pomiarowe wynoszą ok. 500 lat, to i ocena czasu trwania nie może być dokładniejsza. Trzeba dopuścić, jako górną granicę czasu trwania obozowiska (niekoniecznie ciągłego), różnicę między wiekiem największym i najmniejszym; 25100-23500= 1600 lat. A nawet, uwzględniając niepewności pomiarowe otrzymać można jako granice 25100+450 i 23500-450 lat, co daje przedział czasu o długości 2500 lat.
Program OxCal wykonuje symulacje pomiarów. Zasadę powyższego rozumowania można więc, niejako naocznie, sprawdzić generując (symulując) wielokrotnie wynik pomiaru obiektu o zadanym, rzeczywistym wieku. Otrzymuje się tam oczywiście również wiek kalibrowany. Natomiast w programie MS Excel, za pomocą formuły
generować można losowe daty o średniej 24400 i odchyleniu standardowym 500. Wydaje się, że tego typu symulacje są dość kształcące i pozwalają łatwiej pogodzić się z losowością towarzyszącą nieodłącznie badaniom otaczającej rzeczywistości.
Fakt, że odchylenie standardowe przytoczonej wyżej serii pięciu wyników jest niewiele większe od niepewności pomiarowych, można zinterpretować, iż potwierdza się oszacowana w laboratorium radiowęglowym wartość niepewności pomiarowych (oraz próbki są praktycznie równowiekowe). Jednak w literaturze archeologicznej (Makarowicz 2001) spotyka się serie pomiarów wieku o za małym rozrzucie: np.
Odchylenie standardowe w przytoczonej serii wynosi 19 lat i jest wyraźnie mniejsze od najmniejszych niepewności pomiarowych (30 lat). Duża liczba pomiarów w tej serii (8) wyklucza przypadek jako przyczynę tak silnej zbieżności (aż ośmiu liczb). Trudno znaleźć wytłumaczenie takiej sytuacji, dlatego wnioskiem powinna tu być pewna rezerwa w stosunku do rzetelności tych pomiarów.
Za zgodą arcybiskupa Turynu, w 1988 roku odcięto z Całunu kilkucentymetrowy fragment do pomiaru wieku. W badaniu brały udział trzy laboratoria radiowęglowe: z Arizony, Oxfordu i Zurichu (Damon i inni 1989). Ze względu na wielkość próbek w grę wchodziła jedynie technika akceleratorowa, którą od niedawna fizycy dysponowali. Pobrany fragment podzielono na trzy części. W podobny sposób potraktowano próbki kontrolne. Laboratoria nie zostały poinformowane, które pojemniki zawierają próbki Całunu. Co prawda było możliwe rozpoznanie Całunu, jednak laboratoria nie wymieniały się informacją o przebiegu pomiaru oraz stosowały dodatkowe, wewnętrzne procedury zapewniające obiektywność traktowania próbek. Wyniki pomiarów przesłano do British Museum.
Ze względu na wielość możliwych zanieczyszczeń Całunu, w każdym z laboratoriów podzielono swoją próbkę na osobne części preparowane w różny sposób. Usuwano wszelki obcy materiał.
Otrzymano następujące wyniki (wiek konwencjonalny BP): Arizona 591±30, 690±35, 606±41, 701±33, Oxford 795±65, 730±45, 745±55, Zurich 733±61, 722±56, 635±57, 639±45, 679±51. Średnia jest następująca: 691±31 BP, co po kalibracji daje wiek 1273 - 1288 AD (prawdopodobieństwo 68%). Uwzględniając niezależnie wyniki z trzech laboratoriów otrzymuje się szerszy przedział 1260 - 1390 AD, co niemniej jednoznacznie wskazuje na średniowieczne pochodzenie Całunu Turyńskiego.
Wyniki dobrze zgadzają się z wiedzą historyczną a priori, posiadaną przed pomiarem wieku metodą 14C. Zapis historyczny mówi o pierwszym pojawieniu się Całunu we Francji, w roku 1350 AD i przeniesieniu go do Turynu w roku 1578.
Tu jest oryginalna publikacja z Nature
Koniec rozdziału: Przykłady datowań Następny rozdział Spis treści