Pierwiastek z 2

Czyli liczba, która pomnożona przez samą siebie daje 2

Oznaczmy ją: √2

Tak więc: √2 * √2 = 2

Liczba ta jest nieskończona

Próba zapisania jej kończy się wielokropkiem:

   1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621 07038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831 41322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027453459686201472851 74186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463318 08829640620615258352395054745750287759961729835575220337531857011354374603408498 84716038689997069900481503054402779031645424782306849293691862158057846311159666 87130130156185689872372352885092648612494977154218334204285686060146824720771435 85487415565706967765372022648544701585880162075847492265722600208558446652145839 88939443709265918003113882464681570826301005948587040031864803421948972782906410 45072636881313739855256117322040245091227700226941127573627280495738108967504018 36986836845072579936472906076299694138047565482372899718032680247442062926912485 90521810044598421505911202494413417285314781058036033710773091828693147101711116 83916581726889419758716582152128229518488472089694633862891562882765952635140542 26765323969461751129160240871551013515045538128756005263146801712740265396947024 03005174953188629256313851881634780015693691768818523786840522878376293892143006 55869568685964595155501644724509836896036887323114389415576651040883914292338113 20605243362948531704991577175622854974143899918802176243096520656421182731672625 75395947172559346372386322614827426222086711558395999265211762526989175409881593 48640083457085181472231814204070426509056532333398436457865796796519267292399875 36661721598257886026336361782749599421940377775368142621773879919455139723127406 68983299898953867288228563786977496625199665835257761989393228453447356947949629 52168891485492538904755828834526096524096542889394538646625744927556381964410316 97983306185201937938494005715633372054806854057586799967012137223947582142630658 51322174088323829472876173936474678374319600015921888073478576172522118674904249 77366929207311096369721608933708661156734585334833295254675851644710757848602463 60083444911481858765555428645512331421992631133251797060843655970435285641008791 85007603610091594656706768836055717400767569050961367194013249356052401859991050 62108163597726431380605467010293569971042425105781749531057255934984451126922780 34491350663756874776028316282960553242242695753452902883876844642917328277088831 80870253398523381227499908123718925407264753678503048215918018861671089728692292 01197599880703818543332536460211082299279293072871780799888099176741774108983060 80032631181642798823117154363869661702999934161614878686018045505553986913115186 01038637532500455818604480407502411951843056745336836136745973744239885532851793 08960373898915173195874134428817842125021916951875593444387396189314549999906107 58704909026088351763622474975785885836803745793115733980209998662218694992259591 32764236194105921003280261498745665996888740679561673918595728886424734635858868 64496822386006983352642799056283165613913942557649062065186021647263033362975075 69787060660685649816009271870929215313236828135698893709741650447459096053747279 65244770940992412387106144705439867436473384774548191008728862221495895295911878 92149179833981083788278153065562315810360648675873036014502273208829351341387227 68417667843690529428698490838455744579409598626074249954916802853077398938296036 21335398753205091998936075139064444957684569934712763645071632791547015977335486 38939423257277540038260274785674172580951416307159597849818009443560379390985590 16827215403458158152100493666295344882710729239660232163823826661262683050257278 11694510353793715688233659322978231929860646797898640920856095581426143636310046 15594332550474493975933999125419532300932175304476533964706627611661753518754646 20967634558738616488019884849747926404506544489691004079421181692579685756378488 14989864168549949163576144840470210339892153423770372333531156459443897036531667 21949049351882905806307401346862641672470110653463493916407146285567980177933814 42404526913706660977763878486623800339232437047411533187253190601916599645538115 78884138084332321053376746181217801429609283241136275254088737290512940733947943 30619439569367020794295158782283493219316664111301549594698378977674344435393377 09957134988407890850815892366070088658105470949790465722988880892461282816013133 70102908029099974564784958154561464871551639050241985790613109345878330620026220 73724716766854554999049940857108099257599288932366154382719550057816251330381531 46577907926868500806984428479152424275441026805756321565322061885751225113063...

Nie jest to jednak tak... jak z 1/3 = 0.33333333... w tych cyfrach powyżej nie ma ŻADNEGO porządku

Policzono cyfr po kropce 1012 (wyżej jest 4.4*103, czyli niemal miliard razy mniej)

Żadnego porządku

A może dało by się ją zapisać jako iloraz dwóch liczb (naturalnych)? Na przykład √2 ≈ 3363 / 2378, albo lepiej 942777611471 / 666644442222 ?

Nie da się

A może jednak √2 = m / n, gdzie m i n to liczby naturalne (konkretne, skończone)

czyli m = √2 * n, albo m2 = 2n2.
Ponieważ 2n2 jest liczbą parzystą, to pierwiastek z tej liczby, też jest liczbą parzystą (o ile jest liczbą naturalną), czyli m jest parzyste.
Czyli można m zapisać jako m = 2k, gdzie k jest liczbą naturalną. Czyli 4k2 = 2n2, czyli n2 = 2k2, czyli n też jest parzyste, podobnie jak m, czyli wyjściowy iloraz można skrócić przez 2, otrzymując √2 = k / j. I tak dalej, dowolnie wiele razy, a za każdym razem licznik i mianownik są dwa razy mniejsze od poprzednich, a to mają być liczby naturalne.

Jeżeli m2 jest parzyste, to m też jest parzyste.
(2k)2 = 4k2 - liczba parzysta podniesiona do kwadratu daje liczbę parzystą.
(2k+1)2 = 4k2 + 4k + 1 - liczba nieparzysta podniesiona do kwadratu daje liczbę nieparzystą.
Innych liczb nie ma

Jeżeli p jest liczbą wymierną (bliską √2), to istnieje liczba wymierna q = (2p+2)/(p+2), która jest bliżej

p            q
1.400000000000 1.411764705882
1.410000000000 1.413489736070
1.414000000000 1.414176918571
1.414200000000 1.414211235429
1.414210000000 1.414212951166
1.414213000000 1.414213465885
1.414213500000 1.414213551672
1.414213560000 1.414213561966
1.414213562000 1.414213562309
1.414213562300 1.414213562361
1.414213562370 1.414213562373
1.414213562373 1.414213562373
...

 

Przekątna kwadratu jest √2 razy dłuższa od boku.
Celowo nie narysowano tu kwadratu z przekątną, żeby nie sugerować, że jakikolwiek istniejący kwadrat może mieć coś wspólnego z √2.

Poniższy kwadrat ma 1000x1000 pikseli, czyli ma ich milion. Kolor pikseli określony jest przez kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego √2, po kropce, od 4142... 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Szum, chaos, żadnego porządku, i tak w nieskończoność

Tu, na przykład są ostatnie z tych policzonych 1012 cyfr: ...60707839659348265264392807093373989240292893464390 - nie różnią się za bardzo
(oczywiście 1000000000000 ma się do nieskończoności tak jak 100, albo 1)

Z prawdopodobieństwem 1 znajdzie się po drodze taki kwadrat cały czerowny (milion jedynek pod rząd), na tej samej zasadzie jest tam moje zdjęcie i każde inne

Wniosek końcowy: nie wymawiajmy słowa na n nadaremno

Home