Datowanie radiowęglowe Adam Walanus, Tomasz Goslar     Spis treści

Podstawy metody

Odpowiedź na pytanie, czy trzeba rozumieć metodę określania wielkości tak prostej jak wiek obiektu, nie jest oczywista. Ludzie jeżdżą samochodami, nie rozumiejąc jak działa silnik, używają komputerów, zupełnie nie rozumiejąc funkcjonowania procesora. Świat jest skomplikowany i nie można rozumieć wszystkiego. Z drugiej jednak strony, rajdowiec, by osiągnąć dobry wynik musi coś wiedzieć o silniku, sprzęgle i przekładni. Każdy użytkownik komputera doświadczył też konfudującej sytuacji, kiedy to dowiedział się jak można było wielokrotnie szybciej zrobić to, nad czym mozolnie pracował. Z reguły lepiej jest wiedzieć więcej, a kalkulacja ile swych zasobów intelektualnych warto zaangażować w który temat, należy do czytelnika.

Następny punkt ma za cel ułatwienie zrozumienia rzeczy. Bez większej szkody dla wiedzy o metodzie można go opuścić.

Prosty, praktyczny model procesów leżących u podstaw metody ¹⁴C

Izotop węgla ¹⁴C jest niestabilny, rozpada się, czyli znika. Prosty model takiej sytuacji otrzymamy nalewając wodę do dziurawej, plastikowej butelki.

Jeżeli do dziurawego naczynia nalejemy wody, to woda ta po pewnym czasie wycieknie. Warto zwrócić jednak uwagę, że szybkość wypływania wody przez dziurkę będzie większa na początku, gdy wody jest więcej. Niestety hydrauliczny proces przepływu wody przez otwór nie jest doskonałym modelem rozpadu promieniotwórczego i jedynie z pewnym przybliżeniem zachodziła będzie sytuacja taka, że połowa wody wypływa zawsze w tym samym czasie (w czasie połowicznego zaniku – patrz następny rozdział; Prawo rozpadu).

Model z dziurawą butelką ma jednak szersze zastosowanie. Nadaje się też do zilustrowania zjawiska dynamicznej równowagi pomiędzy powstawaniem ¹⁴C a jego zanikiem. Butelkę podstawić trzeba pod kranem, z którego dość wolno płynął będzie strumień wody. Pusta butelka zacznie się napełniać, a woda jednocześnie zacznie wypływać. Przy odpowiednim strumieniu wody, oraz nie za dużym i nie za małym otworze w dnie butelki, możemy osiągnąć równowagę przy częściowym napełnieniu butelki. Im więcej wody w butelce tym szybciej ona wypływa. Dlatego, prędzej czy później strumień wypływający osiągnie intensywność taką, jaką ma strumień wody wlewanej do butelki z góry. Poziom wody nie będzie się już zmieniał. Taka stabilność poziomu wody nazwana może być stabilnością dynamiczną, w przeciwieństwie do statycznej, gdzie w szczelnej butelce mamy po prostu wodę. Tu mamy ciągle nową wodę, ale w butelce jest jej stale tyle samo. Właśnie tak jest z izotopem ¹⁴C na Ziemi.

Jednak, przy takiej dynamicznej równowadze niełatwo jest zachować stały poziom wody w butelce. Najmniejsze wahania strumienia wody płynącej z kranu spowodują, że poziom się zmieni. Jeżeli strumień dopływający zmniejszy się to poziom wody opadnie nieco. Woda z kranu to ¹⁴C produkowany w górnych warstwach atmosfery przez promieniowanie kosmiczne. Intensywność produkcji ¹⁴C nie jest dokładnie stała, tak jak nie jest idealnie stabilny strumień wody w kranie.

Może się też zdarzyć, że ktoś nagle doleje „z boku” wody do butelki. To będzie model sytuacji z lat 60-tych, gdy intensywne, próbne wybuchy bomb jądrowych wprowadziły do atmosfery tyle ¹⁴C, że jego koncentracja niemal się podwoiła (Levin i inni 1980).

Sztuczny przyrost ilości ¹⁴C w atmosferze, wywołany próbnymi wybuchami jądrowymi. Jak widać, w roku 1964 koncentracja ¹⁴C podwoiła się. Zanik podwyższonej ilości ¹⁴C, znacznie szybszy niż wynikałoby to z naturalnego rozpadu izotopu, związany jest z rozpuszczaniem się dwutlenku węgla w powierzchniowych wodach oceanu. Jest różnica między dwiema półkulami, południowa była nieco słabiej skażona. (Tu jest dokładniejszy wykres.)

Butelka może być modelem całej atmosfery, ale możemy też na nią patrzeć jak na pojedynczy, żyjący organizm. W tym drugim przypadku pamiętać jednak warto, dla zachowania proporcji, że organizm żyje rok, dziesięć, może sto lat, a butelka opróżnia się do połowy w czasie 5730 lat. Niemniej jednak, dobrym modelem sytuacji, jaka ma miejsce w momencie śmierci organizmu jest odstawienie butelki spod „życiodajnego” strumienia wody.

Jeżeli znajdziemy gdzieś „butelkę” już tylko do połowy wypełnioną wodą, to powiedzieć będziemy mogli, że została ona pozbawiona dopływu wody 5730 lat temu. Jeżeli wody jest już tylko 1/4, to znaczy, że minęło już 11460 lat. Nieco bardziej skomplikowane obliczenia (z logarytmami) pozwolą nam oczywiście powiedzieć, jaki jest wiek również wtedy, gdy wody jest 87,6% albo 8,76% itp. Zwróćmy jednak uwagę, ze pomiar ilości wody nie jest tak prosty jak by się wydawało. Mówiąc o połowie ilości wody nie mamy na myśli, że butelka jest wypełniona do połowy, a to, że została połowa z pierwotnej ilości wody, tej, jaka była w butelce, gdy stała ona jeszcze pod kranem. W zasadzie wystarczy popatrzeć na „butelkę, która dziś jeszcze pod kranem stoi” (a takich nie brakuje - żyjących organizmów). Założyć jednak musimy, że strumień wody z kranu kiedyś był taki sam jak dziś (na szczęście szybkość wypływania wody – zanik ¹⁴C - jest dla wszystkich butelek dokładnie taka sama).

Co jednak, jeśli strumień wody lejącej się do butelek - organizmów nie był idealnie stały? W takim wypadku, należy postąpić jak następuje. Trzeba znaleźć butelkę, w której jest tyle samo wody, co w badanej butelce. Będzie to butelka tak samo stara. To byłoby dość łatwe, jednak ta druga butelka, żeby była nam przydatna musi mieć na etykiecie wypisaną datę zgonu (odstawienia spod kranu). Skąd wziąć taką butelkę? To jest możliwe, mogłyby to być na przykład datowane materiały historyczne. Praktyczne zastosowanie ma tu dendrochronologia.

Oczywiście, procedury szukania butelki o tej samej ilości wody i o znanym wieku nie musimy powtarzać za każdym razem, dla każdej próbki. Wystarczy to zrobić raz, dla butelek różnego wieku, powiedzmy, co 10 lat, wtedy będzie ich ponad 1000, jeśli chcemy pokryć cały holocen, czyli ostatnie 11500 lat. Poważna praca, jednak wystarczy ją wykonać raz dla całej Ziemi, co zostało już zresztą zrobione.

Prawo rozpadu

Jądro atomowe ¹⁴C zawiera trochę za dużo neutronów i dlatego jest niestabilne. Węgiel ¹²C i ¹³C, które maja odpowiednio sześć i siedem neutronów (obok sześciu protonów) są stabilne, mogą one istnieć nieskończenie długo. Natomiast ¹⁴C zawiera aż osiem neutronów, co jak się okazuje jest już nadmiarem. Jądro ¹⁴C jest więc niestabilne, samorzutnie rozpada się. Oczywiście ¹⁴C nie jest wyjątkiem, w przyrodzie istnieje bardzo wiele różnych niestabilnych jąder atomowych. Nas jednak interesuje węgiel, również dlatego, że jego tendencja do rozpadania się nie jest za ani silna ani za słaba, jest w sam raz taka, że izotop ten jest przydatny w geologii holocenu i późnego glacjału, a także w archeologii.

Jak rozumieć „samodzielne” rozpadanie się, bez wpływu żadnych czynników zewnętrznych? Czy jądra te maja w sobie zegar? Niewątpliwie mają zegar, jak wszystko podlegają czasowi. Zegara swojego nie używają one jednak w sposób bezpośredni, do precyzyjnego odmierzenia czasu, kiedy należy się rozpaść. Jądra atomowe, jak wszystkie obiekty mikroświata cechuje podległość prawom losowym, probabilistycznym. Jest to poważna, nieprzypadkowa właściwość świata cząstek elementarnych, z którą nie chciał się zgodzić, w czasach jej odkrywania, tak wielki fizyk jak Albert Einstein. Wyrażał on to słowami „Bóg nie gra w kości”. Dziś wiadomo już, że Einstein nie miał racji, a losowość jest immanentną cechą zjawisk mikroświata.

Osobom lubiącym liczyć, zrozumienie mechanizmu rozpadu może ułatwić arkusz Excela. Wpiszmy w komórce A1 liczbę 1, a do komórki A2 wpiszmy następującą formułę (przy kopiowaniu uwaga na przecinek dziesiętny)

Formułę z A2 przeciągamy lub kopiujemy dowolnie daleko w prawo. W wyniku otrzymamy ciąg jedynek, a za nimi ciąg zer. Jedynka wskazuje, że jadro ¹⁴C wciąż "żyje", zero, że już przeistoczyło się w ¹⁴N. Skala czasu jest taka, że jedna komórka to 500 lat. Naciskając klawisz funkcyjny F9 powodujemy ponowne przeliczenie arkusza, co z powodu elementu losowego da inny wynik - historię innego jadra. Komórki dobrze jest pokolorować formatowaniem warunkowym. Można też widzieć jednocześnie wiele przypadków, wystarczy cały pierwszy wiersz skopiować wiele razy niżej.

Do zrozumienia prawa rozpadu promieniotwórczego jakiemu podlega, między innymi, izotop ¹⁴C posłużmy się pewną analogią. Wyobraźmy sobie osobę grającą regularnie, co tydzień w grę losową. Co tydzień więc jest szansa wygranej, szansa ta, czyli prawdopodobieństwo jest jednak bardzo mała, powiedzmy, że wynosi ona dwie milionowe (dokładnie 2,32*10^-6), co jest liczbą niezbyt odległą od prawdopodobieństw wygranych w typowych grach losowych. Otóż w takiej sytuacji przeciętny, systematyczny gracz czekał będzie na wygraną 8250 lat, tak samo długo jak atom ¹⁴C średnio czeka na swój nieuchronny los. Oczywiście niektórzy gracze wygrają wcześniej a niektórzy później, niektórzy już za tydzień, a pechowcy mogliby czekać i 50 tysięcy lat. Jeżeli graczy jest milion, to w bieżącym tygodniu prawdopodobnie dwóch wygra. Milion graczy to dużo, ale atomów ¹⁴C jest o wiele więcej. W jednym gramie współczesnego węgla (w kawałku drewna) jest ich tyle, że w ciągu jednej minuty rozpada się ich (wygrywa w swojej grze losowej) przeciętnie 14, choć prawdopodobieństwo rozpadnięcia się jednego, konkretnego atomu w ciągu tygodnia wynosi tylko dwie milionowe.

Ktoś mógłby zapytać, po jakim czasie połowa graczy wygra. Odpowiedź jest następująca: po 5715 latach (5715=8250*ln(2)) mniej więcej połowa graczy wygra i powiedzmy, że nie wolno im już więcej grać, żeby sytuacja pozostała analogiczna do rozpadów jąder ¹⁴C, które z gry wypadają. Czas, po którym połowa atomów zanika, w wypadku ¹⁴C wynoszący 5730 lat, nazywany jest okresem połowicznego zaniku i oznaczany jest zwykle symbolem T_1/2.

Teraz możemy przystąpić do sformułowania prawa rozpadu.

Wyobraźmy sobie kawałek drewna, trzymany w ręku. Jeżeli węgla w tym drewienku jest 10g, to jest w nim też 5,2*10¹¹ atomów ¹⁴C; prawie milion milionów. Oczywiście atomów zwykłego ¹²C jest znacznie więcej; milion milionów (10¹²) razy więcej. Liczby te nie są najważniejsze, dość, że atomów tych jest dużo. Otóż po upływie 5730 lat zostanie ich tylko połowa. Nie my już będziemy trzymali w ręku ten kawałek drewna. My jednak możemy znaleźć w wykopie kawałek drewna, który ktoś trzymał w ręku 5730 lat temu. W drewnie tym atomów ¹⁴C będzie dwa razy mniej niż w podobnym, współczesnym kawałku drewna.

Doszliśmy do ważnego momentu w toku myślenia. Trzymamy w ręku obiekt sprzed 5730 lat i zastanawiamy się, co będzie się działo z zawartymi w nim atomami ¹⁴C. Czy atomy te są już stare i szybciej będą się rozpadały? Otóż cząstki elementarne w żadnym stopniu nie „dysponują” zapisem czasu, jaki upłynął od momentu ich powstania. Atomy ¹⁴C nie wiedzą, że są już dość stare. One dalej grają w swoją grę losową. Ci gracze nie męczą się i nie zniechęcają, grają w tą samą grę dopóki nie wygrają (o ile rozpad można nazwać wygraną).

Tak więc, pozostałe atomy ¹⁴C będą się w (indywidualnie) niezmienionym tempie rozpadały (mniej więcej w taki sposób), co oznacza, że po upływie następnych 5730 lat zostanie ich połowa stanu dzisiejszego. Wtenczas, względem początkowego momentu, który miał miejsce 5730 lat temu (kiedy to ścięto drzewo) pozostanie ich ¼. I tak dalej, jak widać to na ponizszym rysunku.

Prawo zaniku, czyli zmniejszanie się liczby atomów ¹⁴C z upływem czasu. Okres połowicznego zaniku wynosi ok. 5700 lat, co oznacza, że po upływie tego czasu zostaje już tylko połowa ¹⁴C, co widać na wykresie. Po upływie czasu dwa razy dłuższego, czyli 11400 lat, z pierwotnej ilości ¹⁴C zostaje jedna czwarta. Jak widać, po upływie 40 tysięcy lat pozostaje już bardzo mało ¹⁴C i ponieważ trudno jest zmierzyć tak małą ilość, to metoda radiowęglowa kończy tu swój zasięg.

Pochodzenie ¹⁴C

Niestabilny izotop, który rozpada się średnio po kilku tysiącach lat powinien dawno zniknąć, jeżeli powstał miliardy lat temu, jak prawie wszystkie atomy na Ziemi. Jeżeli dziś obserwujemy w przyrodzie atomy ¹⁴C, to oznacza to, że musiały one powstać całkiem niedawno, jak na wiek wszechświata. W istocie atomy te (właściwie jądra atomowe ¹⁴C) powstają ciągle, na bieżąco.

Tworzenie atomów było kiedyś marzeniem alchemii, dziś jest to temat z dziedziny fizyki jądrowej. Chodzi o reakcje jądrowe. Poza słońcem reakcje jądrowe, jak wiadomo zachodzą w elektrowniach jądrowych, a także w zaniechanych już dziś wybuchach bomb jądrowych. Reakcja jądrowa, w której przyroda „produkuje” ¹⁴C nie należy do tych wyżej wspomnianych, choć wybuchy bomb jądrowych wytworzyły znaczną ilość izotopu ¹⁴C. Izotop ¹⁴C można też wytworzyć sztucznie w sposób kontrolowany, w reaktorze, tak jak i wiele innych izotopów. Sztucznie wytworzony ¹⁴C, o znacznie większej koncentracji (aktywności) niż naturalna, używa się jako tzw. znacznika izotopowego. Otóż węgiel „oznaczony” dużą zawartością ¹⁴C, będący elementem jakiegoś związku chemicznego, pozwala śledzić drogę tego związku w procesach chemicznych czy biologicznych. Laboratoria radiowęglowe wykonujące pomiary wieku trzymają się jednak z daleka od materiałów ze sztucznie wytworzonym ¹⁴C, jak i inne sztucznych izotopów promieniotwórczych. Awaria elektrowni jądrowej w Czernobylu, w 1986 roku była powodem poważnych kłopotów dla wielu europejskich (konwencjonalnych) laboratoriów, gdyż do atmosfery przedostała się wtedy znaczna ilość wielu radioaktywnych izotopów. W skali globalnej jednak, liczba jąder ¹⁴C wyprodukowanych wskutek awarii w Czaernobylu była nieznacząca, i lokalne maksimum stężenia ¹⁴C w powietrzu „rozmyło się” w ciągu kilku tygodni. Związane z awarią kłopoty konwencjonalnych laboratoriów ¹⁴C były w istocie spowodowane skażeniem laboratoriów innymi izotopami, których promieniowanie zaburzało pomiary właściwego izotopu ¹⁴C.

Planeta Ziemia bombardowana jest ciągle strumieniem atomów wodoru wypełniających przestrzeń kosmiczną. Atomy te, a właściwie ich jądra (protony) uderzają w atmosferę Ziemi generując strumień neutronów. Neutrony z kolei zderzają się, z licznymi w atmosferze atomami azotu. Jądro atomu azotu ma 7 protonów i 7 neutronów. Neutron uderzający w takie jądro może w nim spowodować przemianę jednego z protonów w neutron. Fizycy zapisuję tę reakcję jądrową jak niżej:

¹⁴N(n,p)¹⁴C

Głównie tak właśnie powstaje ¹⁴C, zawierający 6 protonów i 8 neutronów. Atom węgla oczywiście szybko utlenia się do CO, i dalej do CO₂. „Cięższy” węgiel ¹⁴C niemal na równi z ¹²C jest wbudowywany w tkankę roślin i zwierząt.

Tak więc, w atmosferze stale produkowany jest ¹⁴C. Szybkość produkcji jest dość stała gdyż strumień protonów docierający do Ziemi jest raczej niezmienny. Jądro atomowe ¹⁴C jest jednak niestabilne, średnio po ok. ośmiu tysiącach lat powraca ono do swego pierwotnego stanu i staje się znów jądrem azotu ¹⁴N.

Szybkość produkcji ¹⁴C a stężenie ¹⁴C

Wielkością, która ważna jest dla funkcjonowania metody ¹⁴C jest stężenie (koncentracja) atomów ¹⁴C w atmosferze. Stężenie albo procentowa zawartość to ilość jakiejś substancji (np. ¹⁴C) w innej substancji (w węglu w ogóle). Na przykład w wodzie mineralnej może być 1g minerałów na litr wody. W sfeminizowanej grupie ćwiczeniowej jeden student może przypadać na dwadzieścia studentek. A jeden atom ¹⁴C przypada na tysiąc miliardów atomów ¹²C. Atomów ¹⁴C jest w węglu bardzo mało.

Jeżeli dodamy 1g minerałów do litra czystej wody to otrzymamy stężenie 1g/L. Jeżeli 1g dodamy do dwóch litrów wody, to otrzymamy stężenie 0,5g/L. Podobnie stężenie ¹⁴C zależy od tego, w jakiej masie węgla się on „rozpuszcza”. Jeżeli rozpuszczałby się tylko w atmosferze i biosferze byłoby go w tych środowiskach stosunkowo dużo. Jednak węgiel (każdy, więc i ¹⁴C) „rozpuszcza się” także w wodzie, w całej objętości oceanu światowego. W związku z tym jest ¹⁴C w atmosferze znacznie mniej. Ważniejsze jednak, że proces mieszania się wód oceanicznych miewał w historii Ziemi różną intensywność. Ponieważ mieszanie się wód oceanicznych trwa ok. 2 tysiące lat, procesy te mają wpływ na stężenie ¹⁴C w atmosferze.

Tak więc stężenie ¹⁴C zależy nie tylko od szybkości jego produkowania w atmosferze ale zależy również od skomplikowanych procesów dziejących się na powierzchni Ziemi, jak i pod jej powierzchnią, z których mieszanie wody w oceanie jest tylko przykładem.

Inne izotopy kosmogeniczne

Promieniowanie kosmiczne bombardujące atmosferę ziemską, ale również litosferę, wytwarza, poza ¹⁴C, wiele innych izotopów promieniotwórczych. Najważniejsze z nich, z jakimi geolog spotkać się może w literaturze dotyczącej chronologii, wymienione są w poniższej tabeli.

Izotopy kosmogeniczne i ich okresy połowicznego zaniku.

Jak widać w powyższej tabeli, w podobny sposób jak ¹⁴C powstają bardzo różne pierwiastki, które w bio- i geosferze występują w najróżniejszych związkach chemicznych, mających swoje własne drogi obiegu. Dlatego promieniotwórcze izotopy tych pierwiastków znaleźć mogą zastosowanie w wielu sytuacjach badawczych. Skala czasu jest tu podobnie różnorodna, od wodoru-3 (trytu), który „żyje” kilkanaście lat, do berylu-10 i glinu-26, o czasie życia na skalę historii ludzkości. Jednak nawet te najtrwalsze izotopy mają za krótki okres połowicznego zaniku by przetrwać od początku wszechświata, tak więc istnieją one na Ziemi tylko dzięki bieżącej produkcji, choć, przy współczesnej technice, promieniowanie kosmiczne nie ma tu już wyłączności.

Techniki pomiaru stężenia ¹⁴C

Kawałek drewna składa się w dużej części z atomów węgla (C). Większość z tych atomów to izotop ¹²C, mający w jądrze atomowym 6 protonów (jak każdy węgiel) i 6 neutronów. Jeden procent węgla to izotop ¹³C, który ma 7 neutronów. Jeżeli drewno owo nie jest zbyt stare to są w nim też atomy izotopu ¹⁴C, jednak jest ich bardzo mało, milion milionów razy mniej niż ¹²C.

Liczba atomów różnych izotopów w jednym gramie współczesnego węgla.

Fakt, że izotopu ¹⁴C jest tak mało, w stosunku do zwykłego węgla ¹²C, jest bezpośrednią przyczyną tego, że technika pomiarowa jest skomplikowana, a aparatura bardzo droga. Również kosztowne są, zużywane na bieżąco odczynniki chemiczne, które, tak jak całe laboratorium muszą spełniać wymogi bardzo wysokiej czystości.

Izotop ¹⁴C różni się od ¹²C w dwóch aspektach, po pierwsze jest nieco cięższy (14/12=1,17 raza), po drugie jest radioaktywny. Technika AMS (patrz niżej) wykorzystuje tę pierwszą różnicę, a pozostałe techniki bazują na radioaktywności ¹⁴C. Są więc dwa zasadniczo różne podejścia do pomiaru stężenia ¹⁴C. Technika AMS jest nowszą metodą, aparatura pomiarowa jest znacznie droższa, ale za to nie trzeba tu tak dużych próbek jak w tradycyjnych technikach radiometrycznych. Wynika to stąd, że nie trzeba czekać na rozpady jąder ¹⁴C, a liczy się je takie, jakie są. Jak wiadomo jądro ¹⁴C żyje średnio 8 tysięcy lat, więc dużo trzeba ich na raz obserwować by w dwa dni mieć parę tysięcy rozpadów.

Warto zauważyć, że stabilny izotop ¹³C również jest użyteczny przy datowaniu. Znajomość stężenia ¹³C w próbce poddanej pomiarowi wieku pozwala skorygować wynik ze względu na tzw. frakcjonowanie izotopowe, które ma miejsce w różnych reakcjach chemicznych związanych z przyswajaniem węgla przez organizmy . W technice AMS naturalne jest mierzenie ¹³C (który ma oczywiście masę pośrednią, między ¹⁴C i ¹²C ) równolegle z pomiarem ¹⁴C. W porównaniu ze stężeniem ¹⁴C można powiedzieć, że izotopu ¹³C jest niemal tyle samo co ¹²C, stąd ten pomiar nie jest aż tak trudny.

Wspólnym etapem wszystkich technik pomiarowych ¹⁴C jest otrzymanie z próbki, którą jest kawałek drewna, kości itp., węgla w czystej postaci. Niekoniecznie musi to być czysty węgiel w sensie dosłownym, czasami będzie to dwutlenek węgla (CO₂) otrzymany ze spalania próbki. Jednak zawsze będzie to substancja bardzo czysta. Etap ten, polegający na „wydobyciu” z badanego obiektu węgla może być niełatwy, może on też być niejednoznaczny. Węgiel zwykle występuje w próbce w wielu różnych związkach chemicznych. Może występować jako składnik materii organicznej oraz nieorganicznej. Często chcemy wydobyć węgiel z konkretnej frakcji próbki, np. z kolagenu zawartego w kościach a nie z węglanu wapnia. Wyniki pomiaru wieku na podstawie węgla wyekstrahowanego z różnych frakcji chemicznych będą się zwykle różniły. Niemniej, najczęściej wiadomo (wiedzą to specjaliści z laboratorium radiowęglowego), która frakcja daje najpewniejszy wynik.

Przed przystąpieniem do omówienia trzech najważniejszych technik pomiarowych (AMS i dwóch tradycyjnych) warto zauważyć, że z punktu widzenia geologa czy archeologa między technikami tymi jest tylko jedna zasadnicza różnica: AMS wymaga tysiąckrotnie mniejszych próbek. Nie do pogardzenie jest też zaleta polegająca na tym, że w technice AMS pomiar jest znacznie szybszy. Dzięki temu laboratoria AMS mają większą „przepustowość”, co w praktyce pozwala na przykład na powtarzanie pomiaru w sytuacjach wątpliwych. Inne różnice między laboratoriami, jak dokładność pomiaru, czy ogólny poziom „usług”, w zasadzie nie są bezpośrednio związane z techniką pomiaru. Tak więc, przeważnie nie ma konieczności by wiedzieć jaką technikę pomiarową stosuje laboratorium, do którego wysyłamy próbki, gdyż laboratorium AMS oczywiście przyjmie dużą próbkę. Poniższe, krótkie omówienie techniki pomiarowej ma więc raczej charakter ogólnej wiedzy o tym jak pracują fizycy. Zasadniczo, wiedza ta nie jest konieczna do prawidłowego przygotowania próbek, a tym bardziej do interpretacji wyniku.

Pomiar stężenia izotopu ¹⁴C jest trudną, lecz tylko techniczną sprawą. Etap od momentu, gdy z próbki otrzymano węgiel w standardowej, czystej postaci, do otrzymania wyniku w postaci wieku konwencjonalnego (np. 1230±40 BP) nie wymaga z reguły żadnych poważniejszych decyzji i jest obiektywny. Można więc ten etap pozostawić fizykom, co nie znaczy, że fizycy nie są potrzebni w innych fazach pomiaru, np. przy wyborze obiektu do pomiaru, poborze próbki itp.

W geologii, a szczególnie w archeologii, użyteczność nowoczesnej techniki akceleratorowej jest niewątpliwie większa niż tradycyjnych metod radiometrycznych, które nazywane są też konwencjonalnymi. Właśnie na to ostatnie określenie trzeba zwrócić uwagę. Jak już wspominano , funkcjonuje pojecie konwencjonalnego wyniku pomiaru wieku (data konwencjonalna), obowiązuje też międzynarodowy skrót conv. Dlatego podkreślić trzeba, że nie chodzi tu o wyniki pomiarów wykonanych tradycyjną (nie akceleratorową) techniką. Chodzi o coś zupełnie innego; wiek konwencjonalny jest wiekiem niekalibrowanym . Kalibracja metody ¹⁴C rozwijała się przez długi czas, podobnie jak technika pomiarowa, tak więc dawniej, gdy praktycznie nie było jeszcze kalibracji, lub nie była szeroko stosowana, funkcjonowała radiometryczna technika pomiarowa, którą dziś nazwać można tradycyjną. Technikę tę i używające jej laboratoria nazywa się też konwencjonalnymi, ale w opozycji do (nowoczesnej) AMS, a nie w opozycji do kalibracji. Stanowczo podkreślić trzeba, że kalibrowanie wieku bądź używanie wieku konwencjonalnego zupełnie nie zależy od tego czy pomiar wykonany był techniką AMS czy konwencjonalną (tradycyjną).

Technika AMS, akceleratorowa

Nazwa AMS jest skrótem od Accelerator Mass Spectrometry i oznacza spektrometrię mas z użyciem akceleratora. Akcelerator to przyspieszacz jonów. W Poznańskim Laboratorium Radiowęglowym jest to akcelerator typu pelletron (zdjęcie poniżej), urządzenie, które przenosi na plastikowym łańcuchu z metalowymi elementami ładunki elektryczne, tak by otrzymać napięcie kilkuset tysięcy woltów. Napięcie to przyspiesza jony, po to, by w układzie magnesów i pól elektrycznych dało się rozdzielić atomy ¹⁴C od ¹³C i ¹²C. Odróżnienie izotopów o różnych masach, to właśnie spektrometria mas. Spektrometr ten rozdziela izotopy (schemat niżej) podobnie jak pryzmat dzieli światło białe na kolory tęczy.

Poznańskie Laboratorium Radiowęglowe. Próbki gotowe do umieszczenia w akceleratorze i akcelerator. Więcej zdjęć.

Schemat akceleratora widoczny na monitorze układu sterującego (napięcie wyłączone). Widoczny jest tor wiązki jonów (biegnącej tu z lewa na prawo), która w końcowym etapie rozszczepia się na trzy, ¹⁴C, ¹³C i ¹²C (lekkie izotopy skręcają najsilniej w magnesie, w prawym górnym rogu toru).

Spektrometria mas jest starą techniką wykorzystywaną w wielu działach fizyki i chemii, jednak dopiero w związku z radiowęglem pojawiła się konieczność operowania strumieniami jonów, z których jeden jest milion milionów (10¹²) razy słabszy od innych. (Jest to taka proporcja jak milimetr do dystansu pokonanego przez zawodowego kierowcę, który 25 razy „objechał” Ziemię.)

Jak można się domyślić, w spektrometrze, przy okazji pomiaru liczby atomów ¹⁴C i ¹²C, co jest konieczne do obliczenia wieku, mierzy się też ilość ¹³C, co przydaje się do skorygowania obliczonego wieku (patrz Korekcja wieku ze względu na frakcjonowanie izotopowe.

Przechodząc do starszych „konwencjonalnych” technik radiometrycznych warto zauważyć pewną techniczną, pomiarową aczkolwiek ważną różnicę. Otóż o ile w technice AMS „po prostu” liczy się atomy w próbce, to w technikach konwencjonalnych czeka się na rozpady ¹⁴C, co oczywiście musi trwać. Pomiar AMS trwa więc znacznie krócej.

Technika liczników proporcjonalnych, GPC

Ta technika, odchodząca już w przeszłość, jest łatwiejsza niż AMS , fizycy nie starają się tu odróżniać atomów ¹⁴C od ¹²C. Czeka się tu aż niektóre z atomów ¹⁴C same się „ujawnią”, rozpadając się i wysyłając przy tym cząstkę β, czyli elektron, który stosunkowo łatwo zarejestrować w tzw. liczniku proporcjonalnym. Znając okres połowicznego zaniku izotopu ¹⁴C (5730 lat) wydawać mogłoby się, że długo trzeba będzie czekać na rozpady. Jednak, z drugiej strony, w mierzonej próbce jest mimo wszystko dużo atomów ¹⁴C (patrz tabela wyżej). W sumie (właściwie w iloczynie) wychodzi na to, że w gramie współczesnego węgla zachodzi 14 (nomen omen) rozpadów ¹⁴C na minutę. Wystarczy więc poczekać ze dwie doby by „naliczyć” odpowiednio dużo rozpadów. W starych próbkach rozpadów jest oczywiście mniej. Krótszy pomiar oznacza mniejszą dokładność, według prawa N±N^1/2, co oznacza, że jeśli zliczyliśmy 100 rozpadów to mamy 100±10, czyli bardzo małą dokładność. Dopiero przy 10000 zliczeniach osiągamy dokładność statystyczną 1%. Przedłużanie pomiaru „w nieskończoność” nie ma sensu, bo znaczenia nabierają wtedy inne źródła błędów pomiarowych.

Mierzona próbka ma w technice liczników proporcjonalnych (GPC – Gas Proportional Counter) postać gazową, najczęściej jest to dwutlenek węgla (patrz, np.: Pazdur, Walanus, Mościcki 1978, Zastawny 1967). Gaz ten otrzymywany jest ze spalania próbki (w czystym tlenie), zawiera więc w sobie ten sam węgiel jaki wchodził w skład próbki.

Liczniki proporcjonalne używane były w Gliwickim Laboratorium Radiowęglowym.

Technika scyntylacyjna, LSC

Idea tej techniki jest podobna jak techniki liczników proporcjonalnych, jednak rozpady promieniotwórcze izotopu ¹⁴C rejestruje się tu techniką scyntylacyjną. Próbka ma postać cieczy – benzenu (stąd nazwa LSC - Liquid Scintillation Counter). Scyntylacje to błyski światła powodowane przez cząstkę β wyrzuconą przez jądro ¹⁴C. Te bardzo słabe błyski rejestrowane są przez fotopowielacz. Tu również trzeba zliczyć dużo impulsów, co trwa dobę lub dwie.

Ta technika stosowana jest w Gliwicach i w Skale.

Niepewność pomiarowa

Żadna wiedza o świecie nie jest absolutnie pewna. Jednak stosując znane, dobrze opracowane metody pomiarowe jesteśmy zwykle w stanie powiedzieć, jaki jest stopień niepewności otrzymanego wyniku. Jeżeli za pomocą linijki starannie mierzymy różne obiekty, to wiemy, że osiągamy dokładność ±1mm. Jeżeli obiekt ma zaledwie parę centymetrów to może uda nam się osiągnąć dokładność półmilimetrową (±0,5mm); jeżeli jednak jest to duży obiekt, to dokładność pomiaru może spaść do pół centymetra (±5mm).

Konieczna jest tu uwaga językowa. Należy się cieszyć, że obowiązuje obecnie nazwa „niepewność” zamiast często dawniej stosowanej „błąd” (Walanus, Goslar 2004). Słowo „niepewność” zdecydowanie lepiej oddaje istotę rzeczy i, po czasie, trzeba przyznać, że dostosowanie się autorów zacytowanej publikacji do popularnego uproszczenia było błędem.

Przykład przedziału niepewności

Sprecyzujmy sens symbolu „±”. Rozpatrzmy przykład „kliniczny”, czyli jasny, przejrzysty, ale jednocześnie realistyczny. Niech przyrządem pomiarowym będzie zegar dworcowy, który wyświetla czas w sposób cyfrowy, wskazując np. 12:05. Przyjmijmy, że zegar chodzi dokładnie. Co mówi nam wskazanie 12:05? Mówi dokładnie tyle, że jesteśmy między godziną 12:05 a 12:06, przy czym zupełnie nie wiadomo czy może za sekundę będzie już 12:06, czy też dopiero sekundę temu minęła 12:05.

Użyjmy koniecznego w takim wypadku pojęcia prawdopodobieństwa. Otóż patrząc na wskazanie 12:05 wiemy, że jest teraz może 12:05:00, może 12:05:01, albo 12:05:02 itd. do 12:05:59. Przy tym wszystkie te możliwości są jednakowo prawdopodobne. W tym wypadku prawdopodobieństwo rozłożone jest równomiernie na wszystkie możliwe wyniki. Każdy czas, np. 12:05:37 jest możliwy i jest jednakowo prawdopodobny, a prawdopodobieństwo to wynosi 1/60 czyli 0,0167.

Trzeba zwrócić uwagę, że równomierny rozkład prawdopodobieństwa jest nietypowy w pomiarach, typowy jest tu rozkład (nomen omen) normalny.

Zauważmy, że odczyt czasu z zegara dworcowego, gdyby kogoś interesowały sekundy, możemy podać tak: 12:05:30±30s. Sens symbolu ± byłby tu taki, że rzeczywisty czas mieści się (na pewno) w przedziale między –30s a +30s wokół 12:05:30.

Normalny rozkład prawdopodobieństwa (rozkład Gaussa)

Jak wspomniano wyżej, równomierne rozłożenie się prawdopodobieństwa na wszystkie możliwe wyniki nie jest typową sytuacją. Tak jest przy rzutach monetą (orzeł – ½, reszka ½) i sześcienną kostką do gry, ale nie w pomiarach wieku. Typowy, najczęściej występujący w pomiarach jest tzw. rozkład normalny, którego nazwa odzwierciedla fakt jego stosowalności w większości „normalnych” pomiarów, wykonywanych przez fizyków, ale też przez szeregowych operatorów mierników w przemyśle.

Rozkład normalny prawdopodobieństwa, nazywany też rozkładem Gaussa opisuje zjawiska, na które wpływ ma wiele drobnych, losowych przyczyn. Tak jest przy pomiarze linijką. Wynik mierzenia długości nie jest idealnie dokładny gdyż: (1) niedoskonale przyłożyliśmy początek linijki, (2) nie jesteśmy w stanie odczytać dziesiątych części milimetra, (3) niedokładnie prostopadle patrzyliśmy na linijkę i brzeg obiektu, (4) linijka nie jest doskonała, (5) pomyliliśmy się w liczeniu milimetrowych działek, itd.

Wyobraźmy sobie, że rozsypała nam się zawartość portfela i 30 monet znalazło się na podłodze. Policzmy ile monet leży orłem do góry. Będzie ich może 14, może 20, mało prawdopodobne jest by orłów było aż 25 albo tylko 5. Najbardziej prawdopodobne jest, że orłów będzie 15, bo prawdopodobieństwo, że moneta upadnie orłem do góry wynosi 0,5 a 0,5*30=15. Otóż w tym przypadku prawdopodobieństwo rozłożone jest pomiędzy wszystkie możliwe wyniki zgodnie z rozkładem normalnym (w przybliżeniu). Jest tak dlatego, że mamy tu do czynienia z sumą wielu niezależnych zdarzeń, gdyż każda moneta spadała na podłogę sobie wiadomym torem, obracając się na swój własny sposób, a wynik tworzy suma wielu pojedynczych monet.

Sytuacja z wysypanymi monetami tylko w przybliżeniu opisywana jest rozkładem normalnym, gdyż ten ma pewną dziwną (nienormalną) cechę. Według rozkładu normalnego zdarzyć się może dowolna wartość, tyle, że wartości bardzo różne od spodziewanej wartości (15 orłów) są bardzo mało prawdopodobne. A przecież otrzymanie 31 orłów na 30 monetach jest po prostu niemożliwe, tak jak niemożliwe jest otrzymanie –5 orłów, a nawet nie bardzo wiadomo, co by miało znaczyć „minus pięć” orłów. Jest to jednak niezgodność raczej teoretyczna niż praktyczna, gdyż według rozkładu normalnego prawdopodobieństwo otrzymania więcej niż 30 orłów wynosiłoby jedynie 0,00000002.

Dla zachowania minimum matematycznej ścisłości trzeba stwierdzić, ze sytuację z rozsypanymi monetami opisuje dokładnie dwumianowy rozkład prawdopodobieństwa, a liczba rozpadających się jąder atomowych podlega rozkładowi prawdopodobieństwa Poissona. Ten drugi rozkład pojawia się tam gdzie występuje „nieskończenie” duża liczba prób o „nieskończenie” małym prawdopodobieństwie sukcesu. W obu przypadkach, przy dużej (powiedzmy, większej od 30) średniej liczbie „sukcesów” można stosować rozkład normalny (zapominając, albo raczej pamiętając, o tym, że rozkład normalny dotyczy zmiennej ciągłej, a nie liczb całkowitych).

Odchylenie standardowe

Przejdźmy do wyników pomiarów wieku metodą ¹⁴C (Walanus 1983). Weźmy jako przykład wynik 1000±30 lat. Sens tego zapisu jest ściśle związany z normalnym rozkładem prawdopodobieństwa.

Wykres „funkcji gęstości” normalnego rozkładu prawdopodobieństwa (Gaussa). Wykres ten nazywany jest też krzywą dzwonową (ang. bell curve). Ten konkretny przykład dotyczy wyniku 1000±30 lat.

Jak widać na powyższym rysunku „środek” rozkładu, zgodnie z wynikiem pomiaru, wypada na roku 1000. Ta wartość jest więc najbardziej prawdopodobna. Poszukajmy jednak na wykresie niepewności pomiarowej, który w tym przykładzie wynosi ±30 lat. Skala i siatka na osi poziomej (osi wieku) została tak dobrana by łatwo było znaleźć wartość 1000-30=970 i 1000+30=1030. Widać więc, że zakres ±30 wycina pewną część z rozkładu prawdopodobieństwa. Oczywiście nie jest to cały możliwy zakres wyniku.

Na zakres 1000±30 (od 970 do 1030) przypada nieco ponad 2/3 całego prawdopodobieństwa (patrz powyższy rysunek), a dokładniej 0,68, co zapisuje się też używając procentów jako 68%. Tak więc prawdopodobieństwo, że rzeczywisty wiek obiektu mieści się w przedziale 1000±30 wynosi 0,68 (interpretacja tego sformułowania - patrz następny punkt).

Zakresowi 1000±60, natomiast odpowiada prawdopodobieństwo aż 95%. Stu procent nie osiąga się nigdy, choć dla całego zakresu wieku na rysunku (850 – 1150 lat) mamy już 99,99994%.

Dlaczego przyjęto taką konwencję podawania wyniku, że podawanemu przedziałowi 1000±30 odpowiada prawdopodobieństwo 68% a nie jakaś „równa” wartość, np. 50% czy 90%? Wystarczyło by powiedzieć, że taka jest konwencja. Jednak konwencja ta ma uzasadnienie w statystyce matematycznej; rozkład normalny opisywany jest dwoma parametrami, pierwszy z nich nazywa się wartością oczekiwaną, a drugi odchyleniem standardowym (Tab. 3).

Parametry rozkładu normalnego.

Parametr σ pojawia się często w tekstach dotyczących interpretacji wyników pomiarów wieku. Często podkreśla się, że podawana niepewność pomiarowa (w przykładzie ±30) ma charakter ±1σ.

Prawdopodobieństwo

Oś pionowa na powyższym wykresie ma opis „prawdopodobieństwo/rok” co oznacza: prawdopodobieństwo przypadające na jeden rok. Oznacza to, że odczytana z wykresu wartość dla wieku 1000 wynosząca ok. 0,013 to prawdopodobieństwo, że rzeczywisty wiek wynosi dokładnie 1000 lat. Prawdopodobieństwo, że wiek wynosi 970 lat jest mniejsze, tylko 0,008. Może wydawać się dziwne, że prawdopodobieństwo najbardziej prawdopodobnego wieku (1000 lat) jest tak małe. Wyjaśnienie polega na zwróceniu uwagi, że całe prawdopodobieństwo (równe 1 albo 100%) rozłożone jest na wiele wartości wieku; między 970 a 1030 mamy aż 60 lat, czyli 60 możliwości.

Wartości z osi pionowej powyższego wykresu w praktyce nigdy się nie używa. Często mówi się natomiast o prawdopodobieństwach dla pewnych standardowych przedziałów wieku (patrz tabela).

Prawdopodobieństwo, według rozkładu normalnego, dla różnych przedziałów wokół wartości oczekiwanej.

Probabilistyczna interpretacja konwencjonalnego wyniku pomiaru

Powiedzmy, że do laboratorium radiowęglowego wysłano konkretną próbkę, na przykład spalone ziarno żyta. Przykład dobrany jest tak, by nie było wątpliwości, jaki sens ma sformułowanie „wiek obiektu”, ziarno żyta urosło w ciągu jednego sezonu, pochodzi z konkretnego roku. Inaczej jest z pniami drzew, których słoje przyrastały dziesiątki lat. Tak więc, do pomiaru wysłano ziarno, które urosło, powiedzmy w roku 987 AD (czyli 963 BP). Liczba 987 służy tu jedynie jako symbol, lepiej byłoby napisać x, gdyż nie wiemy, w którym roku ziarno to urosło (gdybyśmy wiedzieli pomiar byłby niepotrzebny). Co wiemy? Po otrzymaniu wyniku, mamy w e-mailu liczbę 1010±50 BP (zostawmy na razie kwestię kalibracji).

Dysponujemy wynikiem 1010±50 BP obarczonym niepewnością pomiarową (±50), a pytamy o rzeczywisty, konkretny wiek ziarna, który nie ma żadnej niepewności (błędu), tyle, że jest nam nieznany. Co więc możemy powiedzieć? Prawdziwe będzie następujące zdanie:

Z prawdopodobieństwem 68% rzeczywisty wiek obiektu leży w granicach μ±1σ (czyli 1010±50 BP).

Dziwne wydaje się, że o konkretnej wartości, o rzeczywistym wieku (wynoszącym być może 963 BP) wyrażamy się w terminach prawdopodobieństwa. Nie da się jednak nic pewniejszego powiedzieć. Zauważmy, że w tym konkretnym przykładzie wszystko jest w porządku, bo 963 istotnie leży w przedziale 1010±50, ale jest to tylko dobrze dobrany przykład.

Jeśli chcemy mieć większy stopień pewności powiemy:

Z prawdopodobieństwem 95% rzeczywisty wiek obiektu leży w granicach μ±2σ (czyli 1010±100 BP).

W tym przypadku mamy więcej zaufania do wyniku, lecz wynik ten mniej nam mówi, gdyż przedział wieku jest szerszy.

Porównywanie dwóch wyników pomiaru wieku

Powyższy przykład, w którym była mowa o rzeczywistym wieku obiektu, mógł być mylący. Wiek 987 AD, którego nie znamy i nigdy znać nie będziemy nie powinien być wypisywany. Dlatego teraz zajmijmy się wyłącznie porównaniem dwóch wyników pomiaru wieku.

Pomiar wieku jednego z dwóch obiektów dał wynik 1010±50 BP, a wynik pomiaru wieku drugiego obiektu, jest następujący: 1070±40 BP. Pytamy czy na podstawie posiadanych wyników pomiarów możemy odrzucić hipotezę mówiącą, że obiekty są równowiekowe. Jest to tzw. statystyczna hipoteza zerowa (H₀), o braku różnicy. Mniej sformalizowanym językiem zapytamy, czy drugi obiekt jest na pewno starszy. Wyliczmy w punktach fakty:

1. 1070 BP to więcej niż 1010 BP, różnica wynosi 60 lat.
2. Wynik pomiaru 1010 ma niepewność pomiarową równą 50 lat.
3. Różnica pomiędzy dwoma wiekami jest, co prawda większa od jednej z niepewności, ale jest od niej niewiele większa. Wiek 1070 BP wykracza poza przedział 1010±50 BP, ale niewiele. Z rozkładu normalnego (rysunej niżej) wynika, że prawdopodobieństwo otrzymania wieku odchylonego od 1010 BP bardziej niż o 60 lat (podczas gdy wynikiem pomiaru jest 1010±50 BP) wynosi 23% i jest całkiem duże. Czyżby obiekty były równowiekowe? W każdym razie wygląda, że nie mamy podstaw by temu zaprzeczyć, tym bardziej, że...
4. Oba porównywane wyniki pomiaru mają swoje niepewności pomiarowe. Wyobraźmy sobie sytuację taką, że rzeczywisty wiek pierwszego obiektu równy jest akurat 1010+50 BP, a rzeczywisty wiek drugiego obiektu, „złośliwie” wynosi 1070-40 BP, co oznaczałoby, że pierwszy obiekt jest wręcz starszy (1060 BP) od drugiego (1030 BP), a jednocześnie pozostaje to w zgodzie z wynikami pomiarów wieku.

Oczywiście odejmowanie od większej liczby, a dodawanie do mniejszej jest tendencyjne, w rzeczywistości mogły się przecież zrealizować cztery możliwości: (1010+50; 1070-40), (1010+50; 1070+40), (1010-50; 1070-40), (1010-50; 1070+40). Dokładnie (według statystyki matematycznej) dwa wyniki pomiarów porównać trzeba w następujący sposób.

Jeżeli odejmujemy dwa wyniki pomiarów obarczone niepewnością, to niepewność otrzymanej różnicy równa jest pierwiastkowi z sumy kwadratów dwóch niepewności:

60±(50²+40²)^1/2    czyli    60±64.       

Jeżeli różnica dwóch wyników pomiaru wieku wynosi 60 lat, a niepewność tej różnicy jest większa od niej (bo wynosi 64 lata), to różnica ta jest przypadkowa, nie można na jej podstawie wnioskować, że jeden obiekt jest starszy od drugiego. Jeśli mielibyśmy jakieś inne informacje na temat tego, że drugi obiekt jest starszy, to wyniki pomiarów wieku potwierdzają to przypuszczenie, ale potwierdzenie jest słabe.

Podana reguła sumowania niepewności pomiarowych ma ogólne znaczenie, warto więc zwrócić uwagę, że podany wzór jest wzorem na obliczanie długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Łatwo sobie wyobrazić, że w przypadku, gdy jeden z boków jest wyraźnie dłuższy od drugiego, to przeciwprostokątna ma praktycznie długość dłuższego boku. Znaczenie ma niestety tylko ta największa niepewność. Gdy są równe, to niepewność sumy jest 40% większa od każdej z nich. Pamiętać też warto, że są to niepewności i liczyć ich z precyzją procentową nie ma sensu.

Trzy wyniki pomiaru wieku: 1010±50 BP, 1070±40 BP i 1300±70 BP zilustrowane za pomocą odpowiadających im krzywych normalnego rozkładu prawdopodobieństwa. Wyniki 1010±50 BP i 1070±40 BP nie pozwalają wnioskować, że te dwa obiekty są różnowiekowe. Wynik 1300±70 BP wskazuje, że ten obiekt jest prawie na pewno starszy od obu pozostałych obiektów. Prawdopodobieństwo, że tak nie jest wynosi ok. 0,5%.

Inna wizualizacja trzech powyższych rozkładów prawdopodobieństwa. Precyzja tego rysunku nie ustępuje powyższej. Dosłowny odczyt jest tu trudniejszy, ale intuicyjny odbiór bliższy prawdy.

Warto podkreślić, że całe powyższe rozumowanie, ma sens przy założeniu, że niepewności pomiarowe (np. ±50 lat) zostały w laboratorium dobrze (rzetelnie) obliczone. Jak to będzie omówione niżej, rozkład normalny jest bardzo czuły na wartość odchylenia standardowego. Na przykład, zwiększenie niepewności z 50 do 60 może zwiększyć prawdopodobieństwo z 0.045 do 0.078, a więc z poziomu uznawanego za istotny (<0.05) do wyraźnie nieistotnego.

Niepewność niepewności

W przypadku pomiaru wieku materiału łatwego w preparatyce, jak np. węgle drzewne i wobec braku jakichkolwiek komplikacji w trakcie pomiaru, wyznaczenie wartości niepewności standardowej nie jest trudne. Jednak nawet pewny materiał, w rodzaju drewna, podlega niepewności związanej z usytuowaniem w badanym osadzie. Być może wiek zmierzony jest dobrze, lecz jest to wiek nie tego zdarzenia, z którym próbkę łączy geolog.

Z drugiej strony, nawet drewno może być zanieczyszczone współczesnym materiałem organicznym (powodującym odmłodzenie) lub materiałem nie zawierającym ¹⁴C (postarzającym próbkę), nie mówiąc już o trudniejszych materiałach jak torf, gleby czy kości. Warto też mieć na uwadze, że laboratorium wykonujące pomiar wieku nie jest zainteresowane pogarszaniem jakości swojego produktu. Ponieważ jakości pomiaru nie możemy ocenić na podstawie zgodności wyniku z wiekiem rzeczywistym, gdyż tego ostatniego nie znamy, to oceniamy ją na podstawie wielkości niepewności. Wynik 1010±40 BP jest lepszy (i droższy) od wyniku 1010±90 BP. Dlatego trudno spodziewać się zawyżania niepewności przez laboratorium, co siłą rzeczy może owocować zaniżaniem niepewności pomiarowej.

Niektóre laboratoria, po standardowym obliczeniu niepewności pomiarowej stosują czynnik korekcyjny (K) zwiększający otrzymaną wartość. Wielkość tego czynnika wynika z długofalowych analiz powtarzalności pomiarów prowadzonych w danym laboratorium. Otóż ta sama próbka, mierzona kilka razy, w pewnych odstępach czasu, da za każdym razem inny wynik. To jest oczywiste, w związku z omówioną już, naturalną losowością procesu pomiarowego. Rzecz jednak w tym, że rozrzut tych wyników bywa nieco większy niż dopuszczałyby to niepewności pomiarowe. Czynnik korekcyjny ujmuje właśnie liczbowo ile razy za duży jest obserwowany rozrzut. Następnie czynnik ten stosowany jest do zwykłych próbek, mierzonych tylko raz.

Kształt krzywej Gaussa jest taki, że nawet niewielkie powiększenie niepewności (σ) dość radykalnie zmienia układ prawdopodobieństw. Efekt ten jest tym silniejszy im mniejsze prawdopodobieństwa rozważamy. Jeżeli na przykład, po przeprowadzeniu analizy statystycznej stwierdzamy, że prawdopodobieństwo, iż dwa wyniki pomiaru odpowiadają takiemu samemu, rzeczywistemu wiekowi obiektów, wynosi tylko 0,0033%, to jeśli niepewności pomiarowe byłyby dwukrotnie większe, prawdopodobieństwo to wynosiło by już 2,2%. Np. dwa wyniki, które wydawały się istotnie różne, po urealnieniu (czytaj: powiększeniu) niepewności łatwo mogą się stać statystycznie nieodróżnialne.

W delikatnej kwestii rzetelności podawanej niepewności pomiarowej warto być może zacytować archeologiczne autorytety (Renfrew, Bahn 2002, str. 137): „Chociaż wiele błędów związanych z datami radiowęglowymi można przypisać dostarczycielowi próbek, najnowsza praktyka wykazuje, że same laboratoria przeceniają dokładność swych wyników. ... Wynika z tego, że chociaż laboratoria są w stanie datować próbki z dokładnością ±50 lat, bezpieczniej jest, gdy archeolog zakłada rzeczywisty wiek rzędu ±80 lat lub nawet więcej.” Inaczej wątpliwości co do niepewności pomiarowej wyrazić można posługując się pojęciem wartości odstającej (ang. outlier). Otóż Buck i inni (2003) stwierdzają, że nawet w najlepiej realizowanych projektach radiowęglowych oznaczeń wieku, pojedyncze wyniki pomiaru maja szansę 1 do 10 (prawdopodobieństwo=0,1) bycia wartościami odstającymi, czyli obarczonymi znacznie większą niepewnością niż podawana.

W wielodyscyplinarnych badaniach naukowych, jak w życiu, o znaczeniu wyniku decyduje często najsłabsze ogniwo. Trudno jednak od użytkownika daty wymagać by kontrolował sposób obliczania niepewności pomiarowej w laboratorium radiowęglowym. Również fizyk z laboratorium nie będzie zwykle w stanie objąć całości problematyki przyrodniczej, by skontrolować poprawność wykorzystania wyników pomiarów ¹⁴C. Każdy powinien odpowiadać przede wszystkim za siebie. Nie należy jednak tego rozumieć jako zniechęcania do idei inter-, a nie tylko wielodyscyplinarności. Badacze z różnych dziedzin muszą ze sobą rozmawiać, a nie tylko przesyłać sobie wyniki. Dlatego trudno zgodzić się w pełni z kolejnym zdaniem fragmentu z podręcznika Renfrew i Bahn’a: „Trzeba więc traktować laboratoria radiowęglowe tak samo jak dostawców jakiejkolwiek innej usługi, ...”.

Specyfika pomiaru wieku metodą ¹⁴C jest taka, że niepewność samego pomiaru (spreparowanego grafitu lub dwutlenku węgla) daje się wyznaczyć dość dokładnie. Wynika to z faktu, że głównym elementem pomiaru jest zliczanie cząstek, które podlega określonemu rozkładowi prawdopodobieństwa, a dotyczy to techniki licznikowej jak i AMS. Sam pomiar stężenia wykonywany jest tak samo dla setek próbek i z tego faktu wynika, że inne składniki niepewności pomiarowej również poznać można dość dokładnie. Źródłem trudno przewidywalnych błędów może być, przede wszystkim pobieranie, przygotowanie i preparatyka próbek.

Wiek „nieskończony”

Jeżeli próbujemy zmierzyć metodą ¹⁴C wiek obiektu, który jest bardzo stary, ma np. 100 tys. lat, albo znacznie więcej, to nie otrzymamy zwykłego wyniku. Zachodzi tu sytuacja, którą można by modelować za pomocą worka z białą i czarną fasolą. Otóż, jeżeli wydobyliśmy z worka 100 fasolek i wszystkie z nich były białe, to nie możemy jednak powiedzieć, że w worku nie ma w ogóle fasolek czarnych. Może np. jedna czarna przypada na 200 białych, albo na 1000 białych. Ale może jedna czarna fasola przypada na 50 białych, a tylko mieliśmy pecha, że na żadną nie trafiliśmy. Prawie na pewno jednak fasolek czarnych nie jest tak dużo, że jedna przypada na dziesięć – wtedy „musiałaby” się zdarzyć choć jedna. Na zasadzie podobnego rozumowania wyznacza się graniczną wartość wieku, i pisze się, że np. T>35000 BP. Oznacza to, że z prawdopodobieństwem 0,98 rzeczywisty wiek jest większy niż 35000 lat (Walanus, Pazdur 1980). Taki wynik nazywa się „nieskończonym”, gdyż nie określa on górnej granicy na wiek, obiekt może być dowolnie stary, raczej jednak nie jest młodszy od 35000 BP.

Trzeba podkreślić, że „wiek nieskończony” jest czymś pośrednim między wiekiem i niepewnością wieku. Zwykły wynik pomiaru, np. 3500±50 składa się z dwóch liczb, wiek nieskończony to jedna liczba, stąd można się spodziewać, że wielkość ta będzie miała cechy obu składników zwykłego wyniku. Przypomnijmy, że niepewność pomiarowa zależy przede wszystkim od samego pomiaru, np. od tego jak długo zliczano impulsy. I tak, wiek nieskończony również zależy w bardzo dużym stopniu od dokładności pomiaru, a w mniejszym stopniu od tego, czy w próbce były ślady ¹⁴C czy nie było tam ¹⁴C w ogóle. Dlatego nie można stwierdzić, że obiekt, dla którego otrzymano wynik T>35000 lat jest młodszy od obiektu, dla którego mamy np. T>42000 lat. Być może oba mają po sto tysięcy lat, a tylko ten drugi obiekt był mierzony licznikiem, który ma nieco mniejsze tzw. tło mające wpływ na zasięg czasowy metody.

Obiekty bardzo stare, ale jednak w zasięgu metody ¹⁴C dają wyniki, których rozkład prawdopodobieństwa staje się niesymetryczny. Spotkać się wtedy można z niesymetryczną niepewnością pomiarową, np. 33500⁺⁵⁰⁰_-200. Zapis taki oznacza, że tak samo prawdopodobne jest odchylenie o 500 lat w kierunku starszego wieku, jak o 200 lat w kierunku młodszego. Wynik nieskończony jest naturalną konsekwencją zwiększania się niepewności z plusem, do nieskończoności.

Właściwie matematyczne pojęcie nieskończoności w naukach przyrodniczych występuje jedynie jako skrót myślowy. Każdy obiekt na Ziemi jest młodszy od pięciu miliardów lat.

Koniec rozdziału: Podstawy metody     Następny rozdział     Spis treści